Calcule o Laplaciano das seguintes funções:

  1. T a = x 2 + 2 x y + 3 z + 4 ;
  2. T b = sen ⁡ x sen ⁡ y sen ⁡ z ;
  3. T c = e - 5 x sen ⁡ 4 y cos ⁡ 3 z ;
  4. v = x 2 x ^ + 3 x z 2 y ^ - 2 x z z ^ .

Passo 1

Fala galera! Vamos relembrar como calculamos o Laplaciano de uma função:

∇ 2 f x ,   y ,   z = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2

Pronto, agora já podemos começar!

Passo 2

  1. T a = x 2 + 2 x y + 3 z + 4
  2. ∇ 2 T a = ∂ 2 ( x 2 + 2 x y + 3 z + 4 ) ∂ x 2 + ∂ 2 ( x 2 + 2 x y + 3 z + 4 ) ∂ y 2 + ∂ 2 ( x 2 + 2 x y + 3 z + 4 ) ∂ z 2

    ∇ 2 T a = ∂ ∂ x 2 x + 2 y + ∂ ∂ y 2 x + ∂ ∂ z 3

    ∇ 2 T a = 2 + 0 + 0

    ∇ 2 T a = 2

    Passo 3

  3. T b = sen ⁡ x sen ⁡ y sen ⁡ z
  4. ∇ 2 T b = ∂ 2 ( sen ⁡ x sen ⁡ y sen ⁡ z ) ∂ x 2 + ∂ 2 ( sen ⁡ x sen ⁡ y sen ⁡ z ) ∂ y 2 + ∂ 2 ( sen ⁡ x sen ⁡ y sen ⁡ z ) ∂ z 2

    ∇ 2 T b = ∂ ( cos ⁡ x sen ⁡ y sen ⁡ z ) ∂ x + ∂ ( sen ⁡ x cos ⁡ y sen ⁡ z ) ∂ y + ∂ ( sen ⁡ x sen ⁡ y cos ⁡ z ) ∂ z

    ∇ 2 T b = - sen ⁡ x sen ⁡ y sen ⁡ z + sen ⁡ x ( - sen ⁡ y ) sen ⁡ z + ( sen ⁡ x sen ⁡ y ( - sen ⁡ z ) )

    ∇ 2 T b = - sen ⁡ x sen ⁡ y sen ⁡ z - sen ⁡ x sen ⁡ y sen ⁡ z - sen ⁡ x sen ⁡ y sen ⁡ z

    ∇ 2 T b = - 3 sen ⁡ x sen ⁡ y sen ⁡ z

    Passo 4

  5. T c = e - 5 x sen ⁡ 4 y cos ⁡ 3 z
  6. ∇ 2 T c = ∂ 2 ( e - 5 x sen ⁡ 4 y cos ⁡ 3 z ) ∂ x 2 + ∂ 2 ( e - 5 x sen ⁡ 4 y cos ⁡ 3 z ) ∂ y 2 + ∂ 2 ( e - 5 x sen ⁡ 4 y cos ⁡ 3 z ) ∂ z 2

    ∇ 2 T c = ∂ ( - 5 e - 5 x sen ⁡ 4 y cos ⁡ 3 z ) ∂ x + ∂ ( e - 5 x 4 cos ⁡ 4 y cos ⁡ 3 z ) ∂ y + ∂ e - 5 x sen ⁡ 4 y ∙ - 3 sen ⁡ 3 z ∂ z

    ∇ 2 T c = - 5 - 5 e - 5 x sen ⁡ 4 y cos ⁡ 3 z + e - 5 x 4 - 4 sen ⁡ 4 y cos ⁡ 3 z + e - 5 x sen ⁡ 4 y ( - 3 ∙ 3 cos ⁡ 3 z )

    ∇ 2 T c = 25 e - 5 x sen ⁡ 4 y cos ⁡ 3 z - 16 e - 5 x sen ⁡ 4 y cos ⁡ 3 z - 9 e - 5 x sen ⁡ 4 y cos ⁡ 3 z

    ∇ 2 T c = ( 25 - 16 - 9 ) e - 5 x sen ⁡ 4 y cos ⁡ 3 z

    ∇ 2 T c = 0

    Passo 5

  7. v = x 2 x ^ + 3 x z 2 y ^ - 2 x z z ^

Vale lembrar que, no caso de um vetor, nosso Laplaciano se dá por:

∇ 2 f = ∂ 2 f x ^ ∂ x 2 + ∂ 2 f x ^ ∂ y 2 + ∂ 2 f x ^ ∂ z 2 ,   ∂ 2 f y ^ ∂ x 2 + ∂ 2 f y ^ ∂ y 2 + ∂ 2 f y ^ ∂ z 2 ,   ∂ 2 f z ^ ∂ x 2 + ∂ 2 f z ^ ∂ y 2 + ∂ 2 f z ^ ∂ z 2

Assim teremos:

∇ 2 v = ∂ 2 ( x 2 ) ∂ x 2 + ∂ 2 ( x 2 ) ∂ y 2 + ∂ 2 ( x 2 ) ∂ z 2 ,   ∂ 2 ( 3 x z 2 ) ∂ x 2 + ∂ 2 ( 3 x z 2 ) ∂ y 2 + ∂ 2 ( 3 x z 2 ) ∂ z 2 ,   ∂ 2 ( - 2 x z ) ∂ x 2 + ∂ 2 ( - 2 x z ) ∂ y 2 + ∂ 2 ( - 2 x z ) ∂ z 2

∇ 2 v = 2 + 0 + 0 ) x ^ + 0 + 0 + 6 x y ^ + ( 0 + 0 + 0 z ^

∇ 2 v = 2 x ^ + 6 x y ^ + 0 z ^

Resposta

  1. ∇ 2 T a = 2 ;
  2. ∇ 2 T b = - 3 sen ⁡ x sen ⁡ y sen ⁡ z ;
  3. ∇ 2 T c = 0 ;
  4. ∇ 2 v = 2 x ^ + 6 x y ^ + 0 z ^ .

E aí, sacou como calcula o Laplaciano de uma função e de um vetor?Ficou com alguma dúvida? Manda pra gente!