Calcule o Laplaciano das seguintes funções: T a = x 2 + 2 x y + 3 z + 4 ; T b = sen x sen y sen z ; T c = e - 5 x sen 4 y cos 3 z ; v = x 2 x ^ + 3 x z 2 y ^ - 2 x z z ^ . Passo 1Fala galera! Vamos relembrar como calculamos o Laplaciano de uma função: ∇ 2 f x , y , z = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 Pronto, agora já podemos começar! Passo 2 T a = x 2 + 2 x y + 3 z + 4 ∇ 2 T a = ∂ 2 ( x 2 + 2 x y + 3 z + 4 ) ∂ x 2 + ∂ 2 ( x 2 + 2 x y + 3 z + 4 ) ∂ y 2 + ∂ 2 ( x 2 + 2 x y + 3 z + 4 ) ∂ z 2 ∇ 2 T a = ∂ ∂ x 2 x + 2 y + ∂ ∂ y 2 x + ∂ ∂ z 3 ∇ 2 T a = 2 + 0 + 0 ∇ 2 T a = 2 Passo 3 T b = sen x sen y sen z ∇ 2 T b = ∂ 2 ( sen x sen y sen z ) ∂ x 2 + ∂ 2 ( sen x sen y sen z ) ∂ y 2 + ∂ 2 ( sen x sen y sen z ) ∂ z 2 ∇ 2 T b = ∂ ( cos x sen y sen z ) ∂ x + ∂ ( sen x cos y sen z ) ∂ y + ∂ ( sen x sen y cos z ) ∂ z ∇ 2 T b = - sen x sen y sen z + sen x ( - sen y ) sen z + ( sen x sen y ( - sen z ) ) ∇ 2 T b = - sen x sen y sen z - sen x sen y sen z - sen x sen y sen z ∇ 2 T b = - 3 sen x sen y sen z Passo 4 T c = e - 5 x sen 4 y cos 3 z ∇ 2 T c = ∂ 2 ( e - 5 x sen 4 y cos 3 z ) ∂ x 2 + ∂ 2 ( e - 5 x sen 4 y cos 3 z ) ∂ y 2 + ∂ 2 ( e - 5 x sen 4 y cos 3 z ) ∂ z 2 ∇ 2 T c = ∂ ( - 5 e - 5 x sen 4 y cos 3 z ) ∂ x + ∂ ( e - 5 x 4 cos 4 y cos 3 z ) ∂ y + ∂ e - 5 x sen 4 y ∙ - 3 sen 3 z ∂ z ∇ 2 T c = - 5 - 5 e - 5 x sen 4 y cos 3 z + e - 5 x 4 - 4 sen 4 y cos 3 z + e - 5 x sen 4 y ( - 3 ∙ 3 cos 3 z ) ∇ 2 T c = 25 e - 5 x sen 4 y cos 3 z - 16 e - 5 x sen 4 y cos 3 z - 9 e - 5 x sen 4 y cos 3 z ∇ 2 T c = ( 25 - 16 - 9 ) e - 5 x sen 4 y cos 3 z ∇ 2 T c = 0 Passo 5 v = x 2 x ^ + 3 x z 2 y ^ - 2 x z z ^ Vale lembrar que, no caso de um vetor, nosso Laplaciano se dá por: ∇ 2 f = ∂ 2 f x ^ ∂ x 2 + ∂ 2 f x ^ ∂ y 2 + ∂ 2 f x ^ ∂ z 2 , ∂ 2 f y ^ ∂ x 2 + ∂ 2 f y ^ ∂ y 2 + ∂ 2 f y ^ ∂ z 2 , ∂ 2 f z ^ ∂ x 2 + ∂ 2 f z ^ ∂ y 2 + ∂ 2 f z ^ ∂ z 2 Assim teremos: ∇ 2 v = ∂ 2 ( x 2 ) ∂ x 2 + ∂ 2 ( x 2 ) ∂ y 2 + ∂ 2 ( x 2 ) ∂ z 2 , ∂ 2 ( 3 x z 2 ) ∂ x 2 + ∂ 2 ( 3 x z 2 ) ∂ y 2 + ∂ 2 ( 3 x z 2 ) ∂ z 2 , ∂ 2 ( - 2 x z ) ∂ x 2 + ∂ 2 ( - 2 x z ) ∂ y 2 + ∂ 2 ( - 2 x z ) ∂ z 2 ∇ 2 v = 2 + 0 + 0 ) x ^ + 0 + 0 + 6 x y ^ + ( 0 + 0 + 0 z ^ ∇ 2 v = 2 x ^ + 6 x y ^ + 0 z ^ Resposta ∇ 2 T a = 2 ; ∇ 2 T b = - 3 sen x sen y sen z ; ∇ 2 T c = 0 ; ∇ 2 v = 2 x ^ + 6 x y ^ + 0 z ^ . E aí, sacou como calcula o Laplaciano de uma função e de um vetor?Ficou com alguma dúvida? Manda pra gente! MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA