Enunciado

Calcule os números complexos a seguir e expresse seus resultados na forma retangular:

  1. 60 ∠ 45 ° 7,6 - j 10 + j 2
  2. 32 ∠ - 20 ° ( 6 - j 8 ) ( 4 + j 2 ) + 20 - 10 + j 24
  3. 20 + ( 16 ∠ - 50 ° ) ( 5 + j 12 )

Passo 1

Bora lá, galera! A letra (b) apresenta formas mistas de apresentação de um número complexo: polar e retangular. Para começar, vamos passar a forma retangular que está no denominador da fração para polar, pois vai facilitar as nossas contas! Assim,

( 6 - j 8 ) ( 4 + j 2 ) = ( C ∠ θ 1 ) ( D ∠ θ 2 )

- 10 + j 24 = E ∠ θ 3

Os módulos C e D podem ser calculados como:

C = 6 2 + 8 2 = 10

D = 4 2 + 2 2 = 4,472

E = - 10 2 + 24 2 = 26

Os ângulos são dados por:

tan ⁡ θ 1 = - 8 6

θ 1 = tan - 1 ⁡ - 8 6 = - 53,13 °

tan ⁡ θ 2 = 2 4

θ 2 = tan - 1 ⁡ 2 4 = 26,565 °

tan ⁡ θ 3 = - 24 10

θ 3 = tan - 1 ⁡ - 24 10 = 112,62 °

Assim, os números complexos, na forma complexa, são iguais a:

( 6 - j 8 ) ( 4 + j 2 ) = ( 10 ∠ - 53,13 ° ) ( 4,472 ∠ 26,565 ° )

- 10 + j 24 = 26 ∠ 112,62 °

Passo 2

Reescrevendo a equação:

B = 32 ∠ - 20 ° ( 10 ∠ - 53,13 ° ) ( 4,472 ∠ 26,565 ° ) + 20 26 ∠ 112,62 °

A multiplicação de número complexos é feita da seguinte forma:

  • Multiplicamos normalmente os módulos dos números
  • Somamos os ângulos dos números!

A divisão de números complexos na forma polar é feita da seguinte forma:

  • Dividimos normalmente os módulos dos números;
  • Subtraímos os ângulos dos números!

Assim,

B = 0,7156 ∠ 6,57 ° + 0,7692 ∠ - 112,62 °

Passo 3

Para finalizar a questão, vamos passar a forma polar para retangular!

B = 0,7109 + j 0,0818 + - 0,2958 - j 0,71

Logo, o valor final da equação é:

B = 0,4151 - j 0,6281

Resposta

A soma é igual a:

0,4151 - j 0,6281

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