Calcule o potencial de uma esfera uniformemente polarizada (Exemplo 4.2) diretamente a partir da Equação 4.9.

Passo 1

Faaaala galera!! Como vocês estão? Bora lá resolver mais uma questãozinha?

De acordo com o exemplo 4.2 como mencionado no enunciado, temos que o potencial de uma esfera uniformemente carregada se dá por:

V = 1 4 π ϵ 0 ∫ P r ^ r 2 d r = P 1 4 π ϵ 0 ∫ r ^ r 2 d r

Mas o termo dentro das chaves é precisamente o campo de uma carga uniformemente carregada, dividido por ρ .

Sabendo disso, teremos:

1 4 π ϵ 0 ∫ r ^ r 2 d r = 1 ρ   1 4 π ϵ 0   4 / 3 π R 3 ρ r 2 r ^ , 1 4 π ϵ 0   4 / 3 π R 3 ρ r 2 r , r > R ,   r < R .

Por fim, a partir da expressão acima:

V r ,   θ = R 3 3 ϵ 0 r 2 P r ^ = R 3 P cos ⁡ θ 3 ϵ 0 r 2 ,       r > R , 1 3 ϵ 0 P r = Pr ⁡ cos ⁡ θ 3 ϵ 0 ,         r < R .

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

r > R : R 3 P cos ⁡ θ 3 ϵ 0 r 2

r < R : Pr ⁡ cos ⁡ θ 3 ϵ 0