Enunciado

Calcule a resposta natural no Ex. 14.4.1, assumindo que não há cancelamento na função de rede.

H s = 4 ( s + 5 ) s 2 + 4 s + 5

V i s = 2 ∠ 0 °

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos lá, primeiramente podemos colocar a função de transferência da seguinte forma:

H s = 4 s + 20 s 2 + 4 s + 5 = V 0 ( s ) V i ( s )

A função de rede é dada por

H s = V o s V i s = N s D s

Em que

N s = b m s m + b m - 1 s m - 1 + … + b 1 s + b 0

E

D s = a n s n + a n - 1 s n - 1 + … + a 1 s + a 0

Mas antes que você saia correndo com toda essa teoria, entenda que o problema é bem simples até, veja, vamos transformar a função de transferência em uma EDO, ela vai ficar desse jeitinho aqui

d 2 V o d t 2 + 4 d V o d t + 5 V o = 4 d V i d t + 20 V i

Como não há cancelamento de rede, vamos ter uma EDO homogênea, e o que isso significa? Significa que o lado direito dessa mesmo EDO é igual a zero!

d 2 V o d t 2 + 4 d V o d t + 5 V o = 0

E com essa equação que nós vamos resolver, no próximo tópico

Passo 2

Nós temos a seguinte EDO

d 2 V o d t 2 + 4 d V o d t + 5 V o = 0

Ela é homogênea, vamos palpitar como solução de V 0 o seguinte

V 0 = e α x

Agora, vamos substituir na equação diferencial, com isso, nós temos que

d 2 e α x d t 2 + 4 d e α x d t + 5 e α x = 0

Que tem como resultado

α 2 e α x + 4 α e α x + 5 e α x = 0  

Colocando o e α x em evidência, nós temos que

e α x α 2 + 4 α + 5 = 0

Agora, como uma exponencial nunca pode ser zero, então o termo quadrático será igual a zero, com isso, voltamos para resolver uma equação do 2° grau (nostálgico, não é?)

Passo 3

Temos a seguinte equação característica

α 2 + 4 α + 5 = 0

Vamos calcular o delta, como qualquer equação do 2° grau

Δ = 4 2 - 4 ∙ 1 ∙ 5 = 16 - 20 = - 4

Já sabemos que quando Δ < 0 , os termos serão complexos, com isso, o valor de α é igual a

α = 4 ± - 4 2 = 4 ± 2 j 2 = 2 ± j

No caso da EDO, nós temos a seguinte solução para este caso

V o t = e α x [ A 1 s e n   β x + A 2 cos ⁡ β x ]

E temos que

α V o = α + i β = 2 ± j

Com isso,

V o t = e 2 t A 1 s e n   t + A 2 cos ⁡ t

Resposta

V o t = e 2 t A 1 s e n   t + A 2 cos ⁡ t

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Transforme as senoides a seguir em fasores: - 20 cos ⁡ ( 4 t + 135 ° ) 8 s e n ( 20 t + 30 ° ) 20 cos ⁡ 2 t + 15 s e n ( 2 t )
Calcule estes determinantes: 10 + j 6 2 - j 3 - 5 - 1 + j 20 ∠ - 30 ° - 4 ∠ - 10 ° 16 ∠ 0 ° 3 ∠ 45 ° 1 - j - j 0 j 1 - j 1 j 1 + j
Obtenha as senoides correspondentes a cada um dos seguintes fasores: V 1 = 60 ∠ 15 °V ,ω = 1 V 2 = 6 + j 8V ,ω = 40 I 1 = 2,8 e - j π / 3A ,ω = 377 I 2 = - 0,5 - j 1,2A ,ω = 10 3
Transforme as senoides a seguir em fasores: - 20 cos ⁡ ( 4 t + 135 ° ) 8 s e n ( 20 t + 30 ° ) 20 cos ⁡ 2 t + 15 s e n ( 2 t )
Calcule os seguintes números complexos: 5 - j 6 - 2 + j 8 - 3 + j 4 5 - j + ( 4 - j 6 ) 240 ∠ 75 ° + 160 ∠ - 30 ° 60 - j 80 ( 67 + j 84 ) ( 20 ∠ 32 ° ) 10 + j 20 3 + j 4 2 10 + j 5 16 - j 20