Calcule os rotacionais das funções vetoriais do Problema 1.15.

  1. v a = x 2 x ^ + 3 x z 2   y ^ - 2 x z z ^ ;
  2. v b = x y x ^ + 2 y z y ^ + 3 z x z ^ ;
  3. v c = y 2 x ^ + 2 x y + z 2 y ^ + 2 y z z ^ .

Passo 1

Fala galera! Vamos relembrar como calculamos o rotacional de uma função:

∇ × f x ,   y ,   z = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f x f y f z = x ^ ∂ f z ∂ y - ∂ f y ∂ z + y ^ ∂ f x ∂ z - ∂ f z ∂ x + z ^ ∂ f y ∂ x - ∂ f x ∂ y

Pronto, agora já podemos começar!

Passo 2

  1. v a = x 2 x ^ + 3 x z 2   y ^ - 2 x z z ^
  2. ∇ × v a = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x 2 3 x z 2 - 2 x z

    ∇ × v a = x ^ ∂ ( - 2 x z ) ∂ y - ∂ ( 3 x z 2 ) ∂ z + y ^ ∂ ( x 2 ) ∂ z - ∂ ( - 2 x z ) ∂ x + z ^ ∂ ( 3 x z 2 ) ∂ x - ∂ ( x 2 ) ∂ y

    ∇ × v a = x ^ 0 - 6 x z + y ^ 0 + 2 z + z ^ ( 3 z 2 - 0 )

    ∇ × v a = - 6 x z x ^ + 2 z y ^ + ( 3 z 2 ) z ^

    Passo 3

  3. v b = x y x ^ + 2 y z y ^ + 3 z x z ^
  4. ∇ × v b = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x y 2 y z 3 z x

    ∇ × v b = x ^ ∂ ( 3 z x ) ∂ y - ∂ ( 2 y z ) ∂ z + y ^ ∂ ( x y ) ∂ z - ∂ ( 3 z x ) ∂ x + z ^ ∂ ( 2 y z ) ∂ x - ∂ ( x y ) ∂ y

    ∇ × v b = 0 - 2 y x ^ + 0 - 3 z y ^ + 0 - x z ^

    ∇ × v b = - 2 y x ^ + - 3 z y ^ + - x z ^

    Passo 4

  5. v c = y 2 x ^ + 2 x y + z 2 y ^ + 2 y z z ^

∇ × v c = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y 2 2 x y + z 2 2 y z

∇ × v c = x ^ ∂ ( 2 y z ) ∂ y - ∂ ( 2 x y + z 2 ) ∂ z + y ^ ∂ ( y 2 ) ∂ z - ∂ ( 2 y z ) ∂ x + z ^ ∂ ( 2 x y + z 2 ) ∂ x - ∂ ( y 2 ) ∂ y

∇ × v c = 2 z - 2 z x ^ + 0 - 0 y ^ + 2 y - 2 y z ^

∇ × v c = 0 x ^ + 0 y ^ + 0 z ^

Resposta

  1. ∇ × v a = - 6 x z x ^ + 2 z y ^ + ( 3 z 2 ) z ^ ;
  2. ∇ × v b = - 2 y x ^ + - 3 z y ^ + - x z ^ ;
  3. ∇ × v c = 0 x ^ + 0 y ^ + 0 z ^ .

E aí, sacou como calcula o rotacional de uma função?Ficou com alguma dúvida?