Calcule as seguintes integrais:

a) int_(- 2)^2 (2 x + 3) delta ( 3 x ) d x

b) int_0^2 (x^3 + 3 x + 2) delta ( 1 - x ) d x

c) int_(- 1)^1 9 x^2 delta ( 3 x + 1 ) d x

d) int_(- oo)^(oo) delta (x - b) d x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos usar o seguinte “protótipo” de integral

int_(- b)^b f (x) delta (x - a) d x = f (a)

Onde - b < a < b . Nós podemos encontrar

A – Primeiramente,

int_(- 2)^2 (2 x + 3) delta (3 x) d x

Que tem como resultado

int_(- 2)^2 (2 x + 3) (1)/(3) delta (x) d x = (1)/(3) (0 + 3) = 1

Portanto,

int_(- 2)^2 (2 x + 3) delta ( 3 x ) d x = 1

Passo 2

B – Para a segunda integral

int_0^2 (x^3 + 3 x + 2) delta (1 - x) d x

Note que

delta (1 - x) = delta (x - 1)

Com isso, nós temos que

int_0^2 (x^3 + 3 x + 2) delta (1 - x) d x = (1)^3 + 3 (1) + 2 = 6

Portanto,

int_0^2 (x^3 + 3 x + 2) delta ( 1 - x ) d x = 6

Passo 3

C – Para a terceira integral

int_(- 1)^1 9 x^2 delta (3 x + 1) d x

Que tem como seguinte resultado

int_(- 1)^1 9 x^2 delta (3 x + 1) d x = 9 (- (1)/(3))^2 (1)/(3)

Onde 3 x + 1 = 0 -> x = - (1)/(3) , com isso, nós temos que

int_(- 1)^1 9 x^2 delta (3 x + 1) d x = (1)/(3)

D – Finalmente, nós precisamos de encontrar int_(- oo)^a delta (x - b) d x , como dissemos antes, a integração da função delta Dirac tem um valor diferente de zero somente se o ponto da função delta estiver dentro do limite da integral. Então essa integração é zero se b > a e um se a > b .

Resposta

a ) int_(- 2)^2 (2 x + 3) delta ( 3 x ) d x = 1

b ) int_0^2 (x^3 + 3 x + 2) delta ( 1 - x ) d x = 6

c ) int_(- 1)^1 9 x^2 delta (3 x + 1) d x = (1)/(3)

d ) 1 s e a > b , 0 s e a < b