Um capacitor 𝐶 foi carregado a um potencial V 0 . No tempo t = 0 ele é ligado a um resistor 𝑅 e começa a descarregar (Figura 7.5a).

  1. Determine a carga do capacitor como função de tempo, Q ( t ) . Que corrente passa pelo resistor,   I ( t ) ?
  2. Qual a energia original armazenada no capacitor (Equação 2.55)? Integrando a Equação 7.7, confirme que o calor fornecido ao resistor é igual à energia perdida pelo capacitor.
  3. Agora imagine carregar o capacitor conectado-o (e também o resistor) a uma bateria de voltagem fixa 𝑉0, no tempo 𝑡=0 (Figura 7.5b).

  4. Determine novamente Q ( t ) e I ( t ) .
  5. Encontre a energia total que sai da bateria ( ∫ V 0 I d t ). Determine o calor fornecido ao resistor. Qual a energia final armazenada no capacitor? Que fração do trabalho feito pela bateria aparece como energia no capacitor? [Observe que a resposta é independente de 𝑅! ]

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Na letra A queremos primeiramente obter uma relação da carga do capacitor em relação ao tempo, e com isso conseguimos encontrar a corrente em função do tempo que passa por ele, sendo assim temos que:

V = Q C

E como V=IR, temos que:

Q C = I R → I = Q R C

Como a corrente é positiva, conseguimos perceber que a carga no capacitor está diminuindo. Temos que:

d Q d t = - I = - 1 R C Q

Ou seja:

d Q d t = - 1 R C Q

Sendo assim temos que:

d Q Q = - 1 R C d t

l n Q = - 1 R C t + c

Mas como em Q(0) a carga do capacitor é C V 0 , assim temos que:

Q ( t ) = e - 1 R C t + c

Pela condição de contorno, temos que:

Q ( t ) = Q 0 e - 1 R C t

Q ( t ) = C V 0 e - 1 R C t

Com isso podemos encontrar o valor de I, pois d Q d t = - I .

I t = - d d t C V 0 e - 1 R C t  

I t = C V 0 R C e - t R C

Passo 2

Na letra B temos a equação 2.55, descrita abaixo:

W = 1 2 C V 2

W = 1 2 c V 0 2

Temos também a equação 7.7, descrita abaixo:

P = I R 2

E integrando a relação acima, temos que:

∫ 0 ∞ P d t = ∫ 0 ∞ I R 2 d t = V 0 2 R ∫ 0 ∞ e - 2 t R C d t =

= V 0 2 R - R C 2 e - 2 t R C 0 ∞ = 1 2 C V 0 2

Que como podemos observar é igual a expressão para W.

Passo 3

Na letra C queremos encontrar Q(t) e I(t), para um segundo caso. Sendo assim temos que:

V = Q C + I R

Agora podemos perceber que como I é positivo isso significa que Q está aumentando.

Da mesma maneira que fizemos no passo 1, temos que:

d Q d t = I = 1 R C C V 0 - Q

d Q C V 0 - Q = - 1 R C d t

l n l n   C V 0 - Q   = - 1 R C t + c

Q t = C V 0 + k e - t R C

Mas como Q(0)=0, ou seja, k = - C V 0 . Assim:

Q t = C V 0 1 - e - t R C

E para obter I(t), temos que:

d Q d t = I ( t )

I t = d d t C V 0 1 - e - t R C = V 0 R e - t R C

Passo 4

Na letra D, vamos calcular inicialmente a energia que sai do capacitor:

∫ 0 ∞ V 0 I d t = V 0 2 R ∫ 0 ∞ e - t R C d t = V 0 2 - R C e - t R C 0 ∞ = V 0 2 C

Se a corrente I(t) é a mesma da letra A, a energia entregue pelo resistor é 1 2 C V 0 2 e energia final no capacitor é também 1 2 C V 0 2 . A metade da energia da bateria vai para o capacitor e a outra metade para o resistor.

Assim finalizamos mais uma!!

Resposta

  1. Q t = C V 0 e - 1 R C t e   I t = C V 0 R C e - t R C
  2. Deduzido no passo 2.
  3. Q t = C V 0 1 - e - t R C e   I t = d d t C V 0 1 - e - t R C = V 0 R e - t R C
  4. Deduzido no passo 4.