No capítulo 5 mostrei que é sempre possível escolher um potencial vetorial cujo divergente é nulo (calibre do Coulomb). Mostre que é sempre possível escolher ∇ ∙ A = - μ 0 ϵ 0 ∂ V ∂ t , como exigido pelo calibre de Lorentz, assumindo que você saiba as equações da forma 10.16. É sempre possível escolher V = 0 ? E quanto a A = 0 ?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos supor que o calibre de Lorentz não esteja satisfeito:

∇ ∙ A → = - μ 0 ϵ 0 ∂ V ∂ t + f r , t

Considerando que f ( r , t ) seja uma função qualquer. É possível para encontrar V ' e A ' → para satisfazer o calibre? Vamos considerar o seguinte

V ' = V - ∂ λ ∂ t

A ' → = A → + ∇ λ

Colocando na primeira equação

∇ ∙ A ' → - ∇ λ = - μ 0 ϵ 0 ∂ ∂ t V ' + ∂ λ ∂ t + f r , t

Com isso, nós temos que

∇ ∙ A ' → + μ 0 ϵ 0 ∂ V ' ∂ t = ∇ 2 λ + f ( r , t )

Passo 2

Assim, se pudermos resolver a equação:

∇ 2 λ + f r , t = 0

que assumimos que podemos, então podemos escolher:

f r , t = - ∇ 2 λ

que fará com que os novos potenciais satisfaçam o calibre de Lorentz:

∇ ∙ A ' → + μ 0 ϵ 0 ∂ V ' ∂ t = 0

Resposta

Respondido acima!