Uma carga + Q está distribuída uniformemente ao longo do eixo z de z = - a a z = + a . Mostre que o potencial elétrico no ponto r é dado por:

V r , θ = Q 4 π ϵ 0 1 r 1 + 1 3 a r 2 p 2 cos ⁡ θ + 1 5 a r 4 p 4 cos ⁡ θ + …

Para r > a .

Passo 1

Falaa galera, bora iniciar mais uma questãozinha do nosso livro!

Bem galerinha, primeiramente usando a Eq. 3.94 do nosso livro, com q → λ d z e ∝ → θ , uma vez que as cargas estão no eixo z :

d V = d q 4 π ϵ 0 1 r + + 1 r - = λ d z 4 π ϵ 0 1 r ∑ n = 0 ∞ z r n P n cos ⁡ θ + P n cos ⁡ ( θ + π )

λ d z 4 π ϵ 0 1 r ∑ n = 0 ∞ z r n P n cos ⁡ θ + P n - cos ⁡ θ

λ d z 4 π ϵ 0 1 r ∑ n = 0 ∞ z r n P n cos ⁡ θ 1 + - 1 n

λ d z 2 π ϵ 0 1 r ∑ n = 0 , 2,4 … ∞ z r n P n cos ⁡ θ

Integrando essa equação de 0 até a , teremos:

V = ∫ 0 a d V = λ 2 π ϵ 0 r   ∑ n = 0,2 , 4 … ∞ P n cos ⁡ θ r n   ∫ 0 a z n d z

= λ 2 π ϵ 0 r   ∑ n = 0,2 , 4 … ∞ 1 1 + n a r n P n cos ⁡ θ

Q = 2 a λ

= Q 4 π ϵ 0 r   ∑ n = 0,2 , 4 … ∞ 1 1 + n a r n P n cos ⁡ θ

E com isso a gente conclui nossa questãozinha, te vejo na próxima!

Resposta

V r , θ = Q 4 π ϵ 0 r   ∑ n = 0,2 , 4 … ∞ 1 1 + n a r n P n cos ⁡ θ