Uma carga q é liberada do repouso na origem, na presença de um campo elétrico uniforme E = E 0   z ^ de um campo magnético uniforme B = B 0 x ^ . Determine a trajetória da partícula transformando para um sistema no qual E = 0 , encontrando o caminho nesse sistema e depois transformando de volta para o sistema original. Assuma que E 0 < c B 0 . Compare o seu resultado com o exemplo 5.2.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Transformando o sistema para um sistema pedido:

E reescrevendo aa equação 12.108

E x - = E x

E y - = γ E y - v B z

E z - = γ E z - v B y

E:

B x - = B y

B y - = γ B y + v c 2   E z

B z - = γ B z - v c 2 E y

E como dito:

E = 0,0 , E 0  

B = B 0 ,   0,0  

De modo que:

E - z = γ E 0 - v   B 0

Se queremos que

E - = 0 → E 0 - v B 0 = 0

v = E 0 B 0

E para B

B z   - = γ B 0 - v c 2 E 0

Dado E 0 = B 0   v

B z   - = γ     B 0 1 - v 2 c 2 = γ B 0 1 γ 2 = B 0 γ     x ^

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para a trajetória em S - , desde que a partícula começou em repouso na origem em S, ela começou com velocidade - v y ^ em S - .

Temos na equação 12.72 que:

P = Q B R

O que demonstra que a partícula percorre em circulo

P = γ   m m v = Q 1 γ     B 0 R

R = γ 2 m v v Q B 0

Assim a trajétoria então é:

x - = 0 ,     y - = - R sin ⁡ ω t - ,     z - = R 1 - cos ⁡ ω t -

Para a trajetória em S , pela transformação de Lorentz da eq. 12.18 e 12.19 temos:

x - = x

y - = γ y - v t

z - = z

t - = γ t t - v c 2   y

E do outro lado:

x = x -

y = γ y - + v t

z = z -

t = γ t - + v c 2   y -

Assim:

x = 0

y = γ - R   sin ⁡ ω t - + v t = γ - R sin ⁡ ω γ t - v c 2 y + v γ t - v c 2   y

z = R 1 - cos 2 ⁡ ω t - = R ( 1 - cos ⁡ ω γ t - v c 2 y

Passo 3

Assim podemos fazer o seguinte sistema:

γ y - v t = - R sin ⁡ γ ω t - v c 2   y  

z - R =   - R cos ⁡ γ ω t - v c 2   y    

Assim obtemos:

γ 2 y - v t 2 + z - R 2 = R 2

Resposta

γ 2 y - v t 2 + z - R 2 = R 2