Uma carga pontual q está a uma distância a > R do eixo de um solenoide infinito (de raio R , n voltas por unidade de comprimento e corrente I ). Encontre o momento linear e o momento angular (sobre o centro) nos campos. (Coloque q no eixo x , com o solenoide ao longo de z ; trate o solenoide como não condutor, de forma que você não precise se preocupar com cargas induzidas na sua superfície.) [Resposta: p e m = ( μ 0 q n I R 2 / 2 a ) y ^ ; L e m = 0 ]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!!! Para este exercício temos os seguintes campos magnético e elétrico:

B → = μ 0 n I   z ^

E → = Q 4 π ϵ 0 r → - a → x - a 2 + y 2 + z 2 3 / 2 = Q 4 π ϵ 0 x - a x → + y y → + z z ^ x - a 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Agora, temos que calcular o momento linear e o momento angular. Bora lá!!!

Passo 2

A densidade de momento é:

g → = ϵ 0 E → × B → = μ 0 n I Q 4 π - x - a y ^ + y x ^ x - a 2 + y 2 + z 2 3 / 2  

A componente de x da densidade de momento é impar em y , então, sua integral será zero para todo o espaço. Logo, a única componente que restará será em y :

G = - μ 0 n I Q 4 π ∫ x ∫ y ∫ - ∞ ∞ x - a x - a 2 + y 2 + z 2 3 / 2   d x   d y   d z

G = - μ 0 n I Q 2 π ∫ x ∫ y x - a x - a 2 + y 2 d x d y

Convertendo a integral para coordenadas polares, temos que x = s cos ⁡ ϕ e y = s   s e n   ϕ .

G = - μ 0 n I Q 2 π ∫ 0 R ∫ 0 2 π s cos ⁡ ϕ - a s cos ⁡ ϕ - a 2 + s   s e n   ϕ 2 s d s d ϕ

= - μ 0 n I Q 2 π ∫ 0 R ∫ 0 2 π s cos ⁡ ϕ - a s 2 + a 2 - 2 s a cos ⁡ ϕ s d s d ϕ

Resolvendo a integral, encontramos:

G = μ 0 n I Q 2 a R 2

Passo 3

A densidade de momento angular, usando o resultado do Passo 2.

l → = r → × g →

= ( x x ^ + y y ^ + z z ^ ) × μ 0 n I Q 4 π - x - a y ^ + y x ^ x - a 2 + y 2 + z 2 3 / 2  

= μ 0 n I Q 4 π z x - a x ^ + z y y ^ - y 2 + x x - 1 z ^ x - a 2 + y 2 + z 2 3 / 2  

Desta vez, l x e l y são impares em z . Logo, o momento angular total será apenas na componente z .

L = - μ 0 n I Q 4 π ∫ x ∫ y ∫ - ∞ ∞ y 2 + x ( x - 1 ) x - a 2 + y 2 + z 2 3 / 2   d x   d y   d z

= - μ 0 n I Q 2 π ∫ x ∫ y y 2 + x x - 1 x - a 2 + y 2 d x d y

Convertendo para coordenadas polares.

= - μ 0 n I Q 2 π ∫ 0 R ∫ 0 2 π s 2 cos 2 ⁡ ϕ - a s cos ⁡ ϕ + s 2   s e n 2   ϕ s 2 + a 2 - 2 a s cos ⁡ ϕ s d s d ϕ

Integrando, vamos encontrar que:

L → = 0

Resposta

G = μ 0 n I Q 2 a R 2

L → = 0