Uma carga pontual q de massa m é liberada do repouso a uma distância d de um plano condutor infinito aterrado. Quanto tempo a carga irá demorar para atingir o plano?  

Passo 1

Falaa galera, bora iniciar mais uma questãozinha do nosso livro!

Essa questão é um pouquinho trabalhosa, mas vem comigo pra gente fazer passo a passo!

Temos uma carga pontual q com massa m , e que ela é liberada do repouso a uma distância d de um plano condutor aterrado infinito. Precisamos descobrir quanto tempo levará para a carga atingir o plano. A força que atua sobre uma carga a uma distância de x da placa condutora infinita é dada pela equação 3.12 do nosso livro, como:

f = - 1 4 π ε 0 q 2 4 x 2

Pela a lei de Newton, podemos escrever:

m d 2 x d t 2 = - 1 4 π ε 0 q 2 4 x 2

Ou podemos dizer:

d 2 x d t 2 = - A x 2   o n d e   A = q 2 16 π ε 0 m  

Assim, podemos escrever a equação como:

d v d t = - A x 2

Multiplicando ambos os lados por v (por v no RHS e por d x d t no LHS), então temos:

v d v d t = - A x 2 d x d t  

podemos escrever o RHS como uma derivada do tempo e também o LHS como:

d d t 1 2 v 2 = d d t A x  

você pode verificar a equação tomando a derivada. Integre ambos os lados em relação a t , então obtemos:

1 2 v 2 = A x + c o n s t a n t e  

podemos determinar o valor da constante usando a condição inicial, a carga começa do repouso v = 0 em x = d , então:

1 2 0 2 = A d + c o n s t a n t e  

c o n s t a n t e = - A d

Substituindo na equação, teremos:

v 2 = 2 A 1 x - 1 d

Tudo certinho? Vamos pro próximo passo!

Passo 2

Agora iremos tirar a raiz quadrada de ambos os membros da equação anterior, teremos então:

v 2 = 2 A 1 x - 1 d

v = 2 A 1 x - 1 d

Note que v é negativo, pois a carga está caindo, então substituímos o valor absoluto de v pelo negativo para d x / d t , ou seja:

- d x d t = 2 A 1 x - 1 d

= 2 A d d - x x

Reorganizando os termos, teremos:

x d - x d x = 2 A d d t

Agora, integrando dos dois lados de x = d para x = 0 e de t = 0 para t = t , teremos:

∫ d 0 x d - x d x = - 2 A d ∫ 0 t d t

= - 2 A d t

Agora precisamos integrar em relação a x . Seja x = u 2 e d x = 2 u   d u , então:

∫ d 0 x d - x d x = 2 ∫ d 0 u 2 d - u 2 d u

Desenvolvendo essa integral por uma calculadora, teremos:

2 - u 2 d - u 2 + d 2 si n - 1 ⁡ u d   0 d

∫ d 0 x d - x d x = - d sin - 1 ⁡ 1 = - d π 2  

Tamo chegando lá, bora pro último passo.

Passo 3

Depois de calculado iremos substituir de volta em:

= - 2 A d t

Então resolveremos para t , e finalmente substituindo de volta com a constante A , como:

- d π 2 = - 2 A d t

Ou

t = d 2 A π d 2  

= π 2 d 2 4 d 2 q 2 16 π ε 0 m    

= 2 π 3 d 3 ε 0 m q 2    

t = 2 π 3 d 3 ε 0 m q 2  

Desenvolvendo a equação temos:

t = π d q 2 π ε 0 m d

Demorou, mas a gente conseguiu, tudo certinho? Te vejo na próxima!

Resposta

t = π d q 2 π ε 0 m d