Uma carga pontual de massa é liberada do repouso a uma distância de um plano condutor infinito aterrado. Quanto tempo a carga irá demorar para atingir o plano?
Passo 1
Falaa galera, bora iniciar mais uma questãozinha do nosso livro!
Essa questão é um pouquinho trabalhosa, mas vem comigo pra gente fazer passo a passo!
Temos uma carga pontual com massa , e que ela é liberada do repouso a uma distância de um plano condutor aterrado infinito. Precisamos descobrir quanto tempo levará para a carga atingir o plano. A força que atua sobre uma carga a uma distância de da placa condutora infinita é dada pela equação 3.12 do nosso livro, como:
Pela a lei de Newton, podemos escrever:
Ou podemos dizer:
Assim, podemos escrever a equação como:
Multiplicando ambos os lados por (por no RHS e por no LHS), então temos:
podemos escrever o RHS como uma derivada do tempo e também o LHS como:
você pode verificar a equação tomando a derivada. Integre ambos os lados em relação a , então obtemos:
podemos determinar o valor da constante usando a condição inicial, a carga começa do repouso em , então:
Substituindo na equação, teremos:
Tudo certinho? Vamos pro próximo passo!
Passo 2
Agora iremos tirar a raiz quadrada de ambos os membros da equação anterior, teremos então:
Note que é negativo, pois a carga está caindo, então substituímos o valor absoluto de pelo negativo para , ou seja:
Reorganizando os termos, teremos:
Agora, integrando dos dois lados de para e de para , teremos:
Agora precisamos integrar em relação a . Seja e , então:
Desenvolvendo essa integral por uma calculadora, teremos:
Tamo chegando lá, bora pro último passo.
Passo 3
Depois de calculado iremos substituir de volta em:
Então resolveremos para , e finalmente substituindo de volta com a constante , como:
Ou
Desenvolvendo a equação temos:
Demorou, mas a gente conseguiu, tudo certinho? Te vejo na próxima!