Uma casca esférica de raio R tem densidade superficial de carga uniforme σ 0 no hemisfério “norte” e uma densidade superficial de carga uniforme - σ 0 no hemisfério “sul”. Encontre o potencial dentro e fora da esfera, calculando os coeficientes explicitamente até A 6 e B 6

Passo 1

Faaaala, pessoa! Bora pra mais uma. Primeiramente vamos lembrar das expressões para os potenciais no interior e no exterior da esfera de raio R , que são as seguintes:

Interior:

V r , θ =   ∑ l = 0 ∞ A l r l P l cos ⁡ θ ,                 p a r a     r ≤ R

Exterior:

V r , θ =   ∑ l = 0 ∞ B l r l + 1   P l cos ⁡ θ ,                 p a r a     r ≥ R

Também devemos lembrar que os coeficientes de polinômios de Legendre similares são iguais:

B l = A l R 2 l + 1

Com isso, vamos calcular os coeficientes A l utilizando o truque de Fourier:

A l =   1 2 ϵ 0 R l - 1 ∫ 0 π σ θ P l cos ⁡ θ s e n   θ d θ

Separando a integral:

A l =   1 2 ϵ 0 R l - 1 σ ∫ 0 π 2 P l cos ⁡ θ s e n   θ d θ -   ∫ π 2 π P l cos ⁡ θ s e n   θ d θ

Agora podemos fazer a seguinte mudança de variável:

x = cos ⁡ θ

Com isso nos limites de integração serão:

0   e   1

Com isso:

A l =   1 2 ϵ 0 R l - 1 σ ∫ 0 1 P l x   d x -   ∫ - 1 0 P l x d x

Passo 2

Da equação obtida anteriormente, temos que P l - x = - 1 l P l ( x ) , já que P l ( x ) é para quando l for par e ímpar quando l for ímpar, e com isso:

∫ - 1 0 P l ( x ) d x = ∫ 1 0 P l - x d - x = - 1 l ∫ 0 1 P l ( x )

Então:

A l =   1 2 ϵ 0 R l - 1 σ ∫ 0 1 P l x   d x - - 1 l ∫ 0 1 P l x d x

A l =   σ 2 ϵ 0 R l - 1 1 - - l ∫ 0 1 P l x d x =   0 ,                                       p a r a   l   p a r σ ϵ 0 R l - 1 ∫ 0 1 P l x d x ,       p a r a   l   í m p a r

Com isso já podemos concluir que:

A 0 = A 2 = A 4 = A 8 = 0

E então, precisaremos apenas determinar A 1 ,   A 3   e   A 5 :

Para determinar A 1 :

∫ 0 1 P 1 x d x =   ∫ 0 1 x d x = x 2 2 0 1 = 1 2  

Para determinar A 3 :

∫ 0 1 P 3 x d x = 1 2 ∫ 0 1 5 x 3 - 3 x   d x = 1 2 5 x 4 4 - 3 x 2 2 0 1 = 1 2 5 4 - 3 2 =   - 1 8

Para determinar A 5 :

∫ 0 1 P 5 x d x = 1 8   ∫ 0 1 63 x - 70 x 3 + 15 x d x = 1 8   63 x 6 6 - 70 x 4 4 + 15 x 2 2 0 1

= 1 8 21 2 - 35 2 + 15 2 = 1 16 36 - 35 = 1 16

Portanto:

A 1 = σ 0 ϵ 0 1 2

A 3 = σ 0 ϵ 0 R 2 - 1 8

A 5 = σ 0 ϵ 0 R 4 1 16  

Passo 3

Lembrando que:

B l = A l R 2 l + 1

Encontraremos os coeficientes de B :

B 1 = σ 0 ϵ 0 R 3 1 2  

B 3 =   σ 0 ϵ 0 R 5 - 1 8

B 5 =   σ 0 ϵ 0 R 7 1 16

Agora que encontramos os coeficientes A l e B l , podemos representar o potencial para dentro e fora da esfera:

V r , θ = σ 0 r 2 ϵ 0 P l cos ⁡ θ - 1 4 r R 2 P 3 cos ⁡ θ 1 8 r R 4 P 5 cos ⁡ θ + …             p a r a   r ≤ R  

V r , θ = σ 0 R 3 2 ϵ 0 r 2 P l cos ⁡ θ - 1 4 r R 2 P 3 cos ⁡ θ 1 8 r R 4 P 5 cos ⁡ θ + …             p a r a   r ≤ R

E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😊

Resposta

A 1 = σ 0 ϵ 0 1 2

A 3 = σ 0 ϵ 0 R 2 - 1 8

A 5 = σ 0 ϵ 0 R 4 1 16  

B 1 = σ 0 ϵ 0 R 3 1 2  

B 3 =   σ 0 ϵ 0 R 5 - 1 8

B 5 =   σ 0 ϵ 0 R 7 1 16

V r , θ = σ 0 r 2 ϵ 0 P l cos ⁡ θ - 1 4 r R 2 P 3 cos ⁡ θ 1 8 r R 4 P 5 cos ⁡ θ + …             p a r a   r ≤ R  

V r , θ = σ 0 R 3 2 ϵ 0 r 2 P l cos ⁡ θ - 1 4 r R 2 P 3 cos ⁡ θ 1 8 r R 4 P 5 cos ⁡ θ + …             p a r a   r ≤ R