Uma casca esférica de raio R tem densidade superficial de carga uniforme no hemisfério “norte” e uma densidade superficial de carga uniforme no hemisfério “sul”. Encontre o potencial dentro e fora da esfera, calculando os coeficientes explicitamente até e
Passo 1
Faaaala, pessoa! Bora pra mais uma. Primeiramente vamos lembrar das expressões para os potenciais no interior e no exterior da esfera de raio , que são as seguintes:
Interior:
Exterior:
Também devemos lembrar que os coeficientes de polinômios de Legendre similares são iguais:
Com isso, vamos calcular os coeficientes utilizando o truque de Fourier:
Separando a integral:
Agora podemos fazer a seguinte mudança de variável:
Com isso nos limites de integração serão:
Com isso:
Passo 2
Da equação obtida anteriormente, temos que , já que é para quando for par e ímpar quando for ímpar, e com isso:
Então:
Com isso já podemos concluir que:
E então, precisaremos apenas determinar :
Para determinar :
Para determinar :
Para determinar :
Portanto:
Passo 3
Lembrando que:
Encontraremos os coeficientes de :
Agora que encontramos os coeficientes e , podemos representar o potencial para dentro e fora da esfera:
E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😊