Enunciado

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Se a chave na figura 8.103 se encontrar desligada há um longo tempo antes de t = 0 , porém é aberta em t = 0 , determine:

  1. A equação característica do circuito.
  2. i X e v R para t > 0 .

Passo 1

Galerinha, na letra (a) queremos a equação característica do circuito. Bom, seja v a tensão no capacitor e i a corrente no indutor. No tempo t = 0 - , a chave está fechada e o circuito em regime permanente, logo o capacitor se comporta como circuito aberto e o indutor como um fio. Portanto,

v 0 - = 16   V

i 0 - = 16 8 = 2   A

Passo 2

Quando t = 0 + , o momento seguinte a abertura da chave, nós continuamos a ter v 0 + = 16   V e i 0 + = 2   A . Agora, nós temos um circuito RLC sem fontes.

A resistência equivalente aqui é igual a:

R e q = 12 + 8 = 20   Ω

L = 1   H

C = 1 36 F

Vamos calcular α e ω 0 agora, para podermos escrever nossa equação característica!

α = R 2 L = 20 2 × 1 = 10

ω 0 = 1 L C = 1 1 1 36 = 6

Como α > ω 0 , nós temos um amortecimento supercrítico. Assim, as raízes da equação característica são:

s 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2 = - 18 ; - 2

Portanto, a equação característica é:

s + 2 s + 18 = 0

s 2 + 20 s + 36 = 0

Passo 3

A letra (b) queremos achar os valores de i X e v R . Uma vez que temos as raízes da equação característica, podemos escrever a equação da corrente:

i t = [ A e - 2 t + B e - 18 t ]

Com i 0 = 2 , temos que A + B = 2 . Para encontrarmos d i 0 d t , vamos olhar para o circuito abaixo no instante t = 0 + .

- v 0 + 20 i 0 + v L 0 = 0 ,   q u e   n o s   l e v a   a

- 16 + 20 × 2 + v L 0 = 0

v L 0 = - 24

A tensão no indutor pode ser escrita como v L 0 = L d i 0 d t . Reorganizando a expressão,

v L 0 L = d i 0 d t

d i 0 d t = - 24 1 = - 24 A s

Se derivarmos a equação da corrente i ( t ) , temos:

d i d t = - 2 A e - 2 t - 18 B e - 18 t

Em t = 0 ,

d i 0 d t = - 2 A - 18 B

- 24 = - 2 A - 18 B

A + 9 B = 12

Ficamos com um sisteminha tranquilo de resolver, de duas equações e duas incógnitas!

A + B = 2 A + 9 B = 12

A = 0,75   e   B = 1,25

Por fim, as equações da corrente e da tensão podem ser escritas como:

i t = 0,75 e - 2 t + 1,25 e - 18 t = - i x t

i X t = - 0,75 e - 2 t - 1,25 e - 18 t   A

v t = 8 i t = 6 e - 2 t + 10 e - 18 t   V

Resposta

  1. s 2 + 20 s + 36 = 0 ;
  2. i X t = - 0,75 e - 2 t - 1,25 e - 18 t   A e v t = 6 e - 2 t + 10 e - 18 t   V

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