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Encontre a resposta v R ( t ) para t > 0 no circuito da figura 8.107 . Seja R = 3   Ω ,   L = 2   H e C = 1 18   F .

Passo 1

Pessoal, para t < 0 ,   não temos nossa fonte de tensão funcionando e o circuito está em regime permanente. Assim, o capacitor se comporta como um circuito aberto e o indutor como um curto-circuito. Dessa maneira, podemos inferir que

i L 0 - = 0   A

v C 0 - = 0   V

Como a corrente no indutor e a tensão no capacitor não podem mudar instantaneamente,

i L 0 + = i L 0 - = 0   A

v C 0 + = v C 0 - = 0   V

i C 0 + = C d v C 0 + d t = C d d t 0 = 0   A

Passo 2

Quando t > 0 , a fonte de tensão passa a fornecer uma tensão V S = 10   V . Quando o tempo tende ao infinito, o circuito atinge o regime permanente, onde o capacitor se comporta como um circuito aberto e o indutor como um curto-circuito. Assim, podemos calcular o valor da corrente i L ( ∞ ) :

i L ∞ = V s R = 10 3 = 3,333   A

Aplicando a lei das malhas para a malha esquerda, temos:

10 - i L ∞ R - v C ∞ = 0

10 - 10 3 × 3 - v C ∞ = 0

v C ∞ = 0

Para obtermos a resposta transiente para t > 0 , vamos desligar a fonte de tensão.

Aplicando a lei dos nós para o nó acima do capacitor, temos:

i R = C d v C d t + 1 L ∫ v C d t … ( 1 )

Passo 3

Aplicando a lei das malhas para a malha da esquerda,

i R R + v C = 0 … ( 2 )

Substituindo ( 1 ) em ( 2 ) :

C d v C d t + 1 L ∫ v C d t R + v C = 0

R C d v c d t + R L ∫ v c d t + v C = 0 … ( 3 )

Derivando a equação ( 3 ) em relação a t :

R C d 2 v C d t + R L v C + d v C d t = 0

Dividindo a equação por R C ,

d 2 v C d t + 1 L C v C + 1 R C d v C d t = 0

Substituindo os valores de R ,   L e C :

d 2 v C d t + 1 2 × 1 18 v C + 1 3 × 1 18 d v C d t = 0

d 2 v C d t + 9 v C + 6 d v C d t = 0 … ( 4 )

Passo 4

A partir da equação ( 4 ) , conseguimos extrair a equação característica do circuito:

s 2 + 6 s + 9 = 0

As raízes são:

s 1 = s 2 = - 3 … ( 5 )

Assim, v C ( t ) é dada por:

v C t = v C s s t + v C t ( t )

Em regime permanente, v C s s t = 0 . Logo,

v C t = A + B t e - 3 t … ( 6 )

Para t = 0 ,

v C 0 = A + 0

A = 0

A corrente do capacitor é dada por:

i C t = C d v C t d t

d v C t d t = i C C

Para t = 0 ,

d v C 0 d t = i C ( 0 ) C = 0

Derivando a equação ( 6 ) , temos:

d v C t d t = d d t [ A + B t e - 3 t ]

d v C t d t = { ( B e - 3 t + A + B t e - 3 t - 3 }

d v C t d t = B e - 3 t - 3 A + B t e - 3 t

Pata t = 0 ,

d v C 0 d t = 0 = B - 3 0

B = 0

Logo, a equação da tensão no capacitor é:

v C t = 0 + 0 t e - 3 t = 0

Passo 5

A tensão no resistor R pode ser encontrada aplicando a lei das malhas na malha da esquerda!

10 - v R t - v C t = 0

10 - v R t - 0 = 0

v R t = 10   V

Resposta

A tensão é igual a

v R t = 10   V

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