A chave da Figura 8.77 muda da posição A para a posição B em t = 0 (observe atentamente que a chave tem de se conectar ao ponto B antes de ela desfazer a conexão em A, um interruptor). Determine i ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Relaxa, galera. Vamo se Ligar e achar a Resposta. Questão bem tranquila pessoal! Quando o interruptor está na posição A, o indutor age como um curto circuito!

i 0 - = 4   A

Quando o interruptor está na posição B, temos um circuito R L C em pararelo. Assim, o coeficiente de amortecimento pode ser calculado:

α = 1 2 R C = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 - 3 = 5

E a frequência natural não amortecida é dada por:

ω = 1 L C = 1 1 4 ⋅ 10 ⋅ 10 - 3 = 20

Como o α < ω , temos um caso de subamortecimento!

Passo 2

Para um circuito subamortecido, a solução da corrente tem a forma:

i t = e - α t A 1 cos ⁡ ω d t + A 2 sin ⁡ ω d t

Onde:

ω d = ω 0 2 - α 2

ω d = 400 - 25

ω d ≈ 19,365

Então a solução da corrente tem a seguinte forma:

i t = e - 5 t A 1 cos ⁡ 19,365 t + A 2 sin ⁡ 19,365 t

Passo 3

Sabemos que a corrente no instante zero é:

i 0 = 4 = A 1

Por outro lado, a derivada de i t é dada por:

d i d t = d d t e - 5 t A 1 cos ⁡ 19,365 t + A 2 sin ⁡ 19,365 t

Derivando a expressão:

d i d t = e - 5 t - 5 A 1 cos ⁡ 19,365 t + A 2 sin ⁡ 19,365 t + - 19,365 A 1 sin ⁡ 19,365 t + 1 9,365 A 2 cos ⁡ 19,365 t

Substituindo t = 0 , obtemos:

d i d t 0 = - 5 A 1 + 19,365 A 2

Passo 4

Agora vamos aplicar a segunda condição.

Sabemos que, para circuito RLC paralelo, a tensão no indutor é:

v = L d i d t

E como o circuito é livre (source-free), temos:

v 0 = 0 ⇒ d i d t 0 = 0

Logo, podemos dizer que:

- 5 A 1 + 19,365 A 2 = 0

Sabemos que:

A 1 = 4

Assim, temos:

- 5 4 + 19,365 A 2 = 0

A 2 = 1,0328

Logo, temos que a corrente é dada por:

i t = e - 5 t 4 cos ⁡ 19.365 t + 1 , 0328 s e n 19 , 365 t   A

Resposta

i t = e - 5 t 4 cos ⁡ 19.365 t + 1.0328 s e n 19.365 t   A

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