Enunciado

A chave na figura é movida da posição A para B em t = 0 (observe que a chave deve ser conectada ao ponto B antes de interromper a conexão com A ) . Determine v t para t > 0 .

Passo 1

Acho interessante começar esse problema já considerando que a chave já está conectada ao B por um tempinho já, então o circuito se resume ah...

Onde Esse v t aí é quem devemos encontrar (tensão em cima do capacitor, embora não tenha ficado explicito no enunciado). Bora Resolver esse circuito então?

Passo 2

Bem, esse circuito pode ser resolvido usando a lei das malhas se lembrando de que a tensão em cima do indutor é v i = L   d i / d t :

- v t + 4 d i t d t + 10 i t = 0

Ainda sabemos que a tensão em cima do capacitor é...

v t = - 1 C ∫     i t d t   →

Esse menos é porque a corrente se encontra na mesma direção da tenção, ok? Derivando para tirar essa integral daí...

v ' t = - 1 C i t

Por fim, vamos só substituir o C = 0,25 ...

v ' t = - 1 0,25 i t

Ou seja, as duas equações diferenciais que precisamos resolve são essas aqui:

- v t + 4 d i t d t + 10 i t = 0

v ' t = - 4 i t

Passo 3

Beleza, então agora vamos resolvê-las aplicando a transformada de Laplace (nas duas equações)...

L - v t + 4 d i t d t + 10 i t = 0

L v ' t = - 4 L i t

Ora, lembrando-se das Laplaces das derivadas...

- V s + 4 s I s - i 0 + 10 I s = 0

s V s - v 0 = - 4 I s

Perceba então que temos que encontrar essas condições iniciais. Para isso, vamos utilizar aquelas informações lá sobre a chave no tempo t = 0 !

Passo 4

Bem, no tempo t = 0 , a chave fecha em B , mas ainda não se desconecta de A ...

Show, mas antes desse momento, tínhamos uma fonte (de corrente contínua) de 20 V , duas resistências e um indutor enquanto que o capacitor estava fora da brincadeira. Ora, em corrente contínua, o indutor é um curto, logo a corrente que circulava i c i r c u l a v a não depende dele e sim da fonte e das resistências:

i c i r c u l a v a = 20 30 + 10 = 0,5 A

Quando a chave se fechou, a corrente no indutor teve que permanecer a que circulava afinal indutor impede mudanças rápidas na corrente!

Logo...

i 0 = 0,5 A

Agora, para o v 0 , tensão inicial sobre o indutor, não foi dito nada no problema sobre e não tem como de calculá-las, logo a gente assume que ele estava descarregado:

v 0 = 0

Passo 5

Podemos voltar então para os nossos cálculos:

- V s + 4 s I s - i 0 + 10 I s = 0

s V s - v 0 = - 4 I s

Substituindo agora as condições que encontramos...

- V s + 4 s I s - 0,5 + 10 I s = 0

s V s = - 4 I s

Isolando I s na segunda...

I s = - 1 4 s V s

E substituindo na primeira então...

- V s + 4 - 1 4 s 2 V s - 0,5 - 10 4 s V s = 0   →

- V s - s 2 V s - 2 - 2,5 s V s = 0   →

V s - 1 - s 2 - 2,5 s = 2   →

V s = 2 - 1 - s 2 - 2,5 s     →

V s = - 2 s 2 + 2,5 s + 1  

Para inverter e encontrar a resposta pedida precisamos encontrar as raízes dessa equação do segundo grau:

s 2 + 2,5 s + 1 = 0   →

s = - 2,5 ± 2,5 2 - 4 2     →

s 1 = - 0,5       e   s 2 = - 2

Então...

V s = - 2 s 2 + 2,5 s + 1 = - 2 s + 0,5 s + 2  

Separando em frações parciais...

V s = - 1,333 s + 0,5 + 1,333 s + 2  

Basta agora inverter usando a Laplace inversa:

v t = - L 1,333 s + 0,5 + L 1,333 s + 2   →

v t = - 1,333 e - 0,5 t + 1,333 e - 2 t   →

Clara, isso depois de t = 0 , então a gente coloca um degrau na resposta:

v t = - 1,333 e - 0,5 t + 1,333 e - 2 t u t  

Resposta

v t = - 1,333 e - 0,5 t + 1,333 e - 2 t u t  

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