Um cilindro muito longo de material dielétrico linear é colocado em um campo elétrico E 0 que inicialmente é uniforme. Encontre o campo resultante dentro do cilindro. (O raio é a , a suscetibilidade é χ e e o eixo é perpendicular a E 0 ).

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para este caso, vamos resolver a Equação de Laplace com as seguintes condições de fronteira:

ϵ 1 ∂ V 1 ∂ n - ϵ 2 ∂ V 2 ∂ n = - σ f = 0

Com isso,

ϵ 0 ∂ V 1 ∂ n = ϵ r ϵ 0 ∂ V 2 ∂ n

Portanto,

∂ V 1 ∂ r s = R = ϵ r ∂ V 2 ∂ r s = R   1

As outras condições, são, respectivamente

V s → ∞ = E 0 s cos ⁡ ϕ   2

E

V 2 s = R = V 1 s = R       3

Onde a segunda condição é o potencial do campo elétrico uniforme E 0 → , com o potencial zero fixado no plano z = 0 .

Passo 2

A solução geral para um problema independente de z em coordenadas cilíndricas é dada por:

V s , ϕ = A 0 + B 0 ln ⁡ s + ∑ n = 1 ∞ ( A n s n + B n s - n ) ( C n cos ⁡ n ϕ + D n sen ⁡ ( n ϕ ) )

Podemos definir A 0 como zero, pois o potencial é determinado até uma constante. Dentro, B 0 = 0 e B n = 0 para evitar que a solução exploda. Além disso, como a solução será simétrica em ϕ se nós orientarmos o eixo ϕ com a variável z . Nós podemos inferir que D n = 0 . De qualquer forma, o termo B 0 = 0 novamente, visto que ln ⁡ s explode, e A n = 0 pelo mesmo motivo. Ao potencial externo adicionamos o potencial do campo uniforme para satisfazer (2).

V 2 s , ϕ = ∑ n = 1 ∞ A n s n cos ⁡ n ϕ

E com isso,

V s , ϕ = E 0 cos ⁡ ϕ + ∑ n = 1 ∞ B n s - n cos ⁡ n ϕ

Tendo em mente, que algumas constantes foram mescladas.

Passo 3

Usaremos a condição (3) para encontrar B n em termos de A n (afinal, queremos o campo interno).

∑ n = 1 ∞ A n R n cos ⁡ ( n ϕ ) = E 0 R cos ⁡ ϕ + ∑ n = 1 ∞ B n R - n cos ⁡ ( n ϕ )

Fazendo algumas manipulações, igualando os termos com a mesma "potência" do cosseno, nós obtemos que

A 1 R = E 0 R + B 1 1 R   e   B n = R 2 n A n

Agora, usando a condição (1)

E 0 cos ⁡ ϕ - ∑ n = 1 ∞ n B n R - n - 1 cos ⁡ n ϕ = ϵ r ∑ n = 1 ∞ n A n R n - 1 cos ⁡ n ϕ

Desenvolvendo os termos

E 0 cos ⁡ ϕ - B 1 R - 2 cos ⁡ ϕ - ∑ n = 1 ∞ n B n R - n - 1 cos ⁡ n ϕ = ϵ r A 1 cos ⁡ θ + ϵ r ∑ n = 1 ∞ n A n R n - 1 cos ⁡ n ϕ

Agora usando as relações entre os coeficientes adquiridos

E 0 cos ⁡ ϕ - A 1 - E 0 cos ⁡ ϕ = ϵ r A 1 cos ⁡ ϕ + ∑ n = 2 ∞ n A n R n - 1 ϵ r + 1 cos ⁡ n ϕ

Desenvolvendo um pouco mais os termos,

2 E 0 cos ⁡ ϕ = A 1 ϵ r + 1 cos ⁡ ϕ + ∑ n = 2 ∞ n A n R n - 1 ϵ r + 1 cos ⁡ n ϕ

Com isso,

2 E 0 cos ⁡ ϕ = ∑ n = 1 ∞ n A n R n - 1 ϵ r + 1 cos ⁡ n ϕ

Claramente, o único coeficiente que pode ser diferente de zero é o componente próximo ao termo cos ⁡ ϕ e, portanto:

A 1 = 2 E 0 ϵ r + 1 ,   A n = 0 ,   n > 1

Passo 4

Com isso, o potencial interno é:

V 2 s , ϕ = 2 E 0 ϵ r + 1 s cos ⁡ ϕ = 2 E 0 ϵ r + 1 z

E

E → = - ∂ V 2 ∂ z z ^ = - 2 E 0 ϵ r + 1 z ^ = 2 E 0 → ϵ r + 1

e o campo interno é uniforme e aponta na direção do campo externo. Para ϵ r = 1 (sem dielétrico), isso se transforma em E 0 → , como esperávamos.

Resposta

E → = 2 E 0 → ϵ r + 1