Um cilindro muito longo de material dielétrico linear é colocado em um campo elétrico que inicialmente é uniforme. Encontre o campo resultante dentro do cilindro. (O raio é , a suscetibilidade é e o eixo é perpendicular a ).
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Para este caso, vamos resolver a Equação de Laplace com as seguintes condições de fronteira:
Com isso,
Portanto,
As outras condições, são, respectivamente
E
Onde a segunda condição é o potencial do campo elétrico uniforme , com o potencial zero fixado no plano .
Passo 2
A solução geral para um problema independente de em coordenadas cilíndricas é dada por:
Podemos definir como zero, pois o potencial é determinado até uma constante. Dentro, e para evitar que a solução exploda. Além disso, como a solução será simétrica em se nós orientarmos o eixo com a variável . Nós podemos inferir que . De qualquer forma, o termo novamente, visto que explode, e pelo mesmo motivo. Ao potencial externo adicionamos o potencial do campo uniforme para satisfazer (2).
E com isso,
Tendo em mente, que algumas constantes foram mescladas.
Passo 3
Usaremos a condição (3) para encontrar em termos de (afinal, queremos o campo interno).
Fazendo algumas manipulações, igualando os termos com a mesma "potência" do cosseno, nós obtemos que
Agora, usando a condição (1)
Desenvolvendo os termos
Agora usando as relações entre os coeficientes adquiridos
Desenvolvendo um pouco mais os termos,
Com isso,
Claramente, o único coeficiente que pode ser diferente de zero é o componente próximo ao termo e, portanto:
Passo 4
Com isso, o potencial interno é:
E
e o campo interno é uniforme e aponta na direção do campo externo. Para (sem dielétrico), isso se transforma em , como esperávamos.