Enunciado

No circuito com amplificador operacional da Figura 8.112 , determine v 0 ( t ) para t > 0 . Seja v i n = u t   V ,   R 1 = R 2 = 10   k Ω ,   C 1 = C 2 = 100   μ F .

Passo 1

Galera, vamos assumir aqui que o nosso amp-op é ideal, beleza? Assim, podemos assumir o seguinte:

i - = i + = 0 … 1

v - = v + … ( 2 )

Onde:

  • i + : é a corrente no terminal não-inversor;
  • i - : é a corrente no terminal inversor;
  • v + : é a tensão no nó não-inversor;
  • v - : é a tensão no nó inversor.

Como os resistores e capacitores são iguais, vamos adotar a seguinte nomenclatura:

R = R 1 = R 2

C = C 1 = C 2

Passo 2

Bom, pessoal, do nosso circuito, temos que:

v - = v + = 0 … ( 3 )

Seja o nó 1 localizado entre o terminal positivo do primeiro capacitor e o primeiro resistor. Aplicando a lei dos nós para ele, temos:

v 1 - v i n R + C d v 1 d t + C d v 1 - v 0 d t = 0

v 1 R - v i n R + C d v 1 d t + C d v 1 d t - C d v 0 d t = 0 … 4

Aplicando a lei dos nós para o nó inversor do amp-op, temos:

C d v 1 d t + v 0 R = 0

d v 1 d t = - v 0 R C … 5

Integrando dos dois lados da equação, temos:

v 1 = - 1 R C ∫ v 0 d t … ( 6 )

Passo 3

Substituindo a equação ( 5 ) e ( 6 ) em ( 4 ) :

- 1 R 2 C ∫ v 0 d t - v i n R - 2 v 0 R - C d v 0 d t = 0

Dividindo por C e substituindo R C = 10 × 10 3 × 100 × 10 - 6 = 1 :

- ∫ v 0 d t - u t - 2 v 0 - d v 0 d t = 0

Derivando essa equação toda em relação a t , temos:

- v 0 - δ t - 2 d v 0 d t - d 2 v 0 d t 2 = 0

d 2 v 0 d t 2 + 2 d v 0 d t + v 0 = - δ t … 7

A equação característica pode ser expressa como:

s 2 + 2 s + 1 = 0

As raízes dessa equação são iguais a:

s 1 = s 2 = - 1 … 8

Nos levando a ter a seguinte equação para v 0 ( t ) :

v 0 t = v 0 ∞ + A 1 e - t + A 2 t e - t … ( 9 )

Passo 4

Quando t ≤ 0 , temos as seguintes condições iniciais:

v i n = u t   e   p a r a   t ≤ 0 ,   v i n = 0

v i n 0 = v 1 0 = v 0 0 = 0   V … ( 10 )

Agora, quando t > 0 , v i n = 1   V e precisamos descobrir d v 0 0 d t . Assim, substituindo ( 10 ) em ( 4 ) :

- 1 R - C d v 0 0 d t = 0

d v 0 0 d t = - 1 R C = - 1 … ( 11 )

Quando t → ∞ , estamos em regime permanente. Os dois capacitores atuam como circuito aberto, logo não há fonte conectada a v 0 .

v 0 ∞ = 0   V … ( 12 )

Passo 5

Substituindo os valores encontrados em ( 10 ) e ( 12 ) na equação ( 9 ) para t = 0 .

A 1 = 0 … 13

Derivando ( 9 ) e substituindo ( 11 ) , ( 12 ) e ( 13 ) em ( 9 ) em t = 0 ,

d v 0 t d t = - A 1 e - t + A 2 e - t - A 2 t e - t

d v 0 t d t = - A 1 + A 2

A 2 = - 1 … 14

Por fim, substituindo 12 ,   ( 13 ) e ( 14 ) na equação ( 9 ) :

v 0 t - t e - t   V

Resposta

O valor da tensão é igual a:

v 0 t - t e - t   V

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