Enunciado

No circuito da Figura 8.1, R = 5 k Ω , L = 8 H, C = 125 nF, V 0   = 30 V e I 0 = 6 mA.

a) Determine v ( t ) para t 0.

b) Determine os primeiros três valores de t para os quais dv/dt é igual a zero. Esses valores devem ser denotados como t 1 ,   t 2   e   t 3 .

c) Mostre que t 3 - t 1 = T d .

d) Mostre que t 2 - t 1 = T d / 2 .

e) Calcule v t 1 ,   v t 2   e   v ( t 3 ) .

f) Faça um gráfico de v ( t ) para 0 t ≤ t 2 .

Passo 1

Faaaaala, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Para essa questãozinha aqui, no item (a), para determinarmos o valor de v ( t ) para t 0, devemos primeiro encontrar a resposta do circuito, a partir dos valores de α   e   ω 0 2 , para então determinarmos a equação genérica de v ( t ) que melhor se aplica. Para isso, utilizaremos o seguinte:

α = 1 2 R C = 1 2 5000 125 * 10 - 9 = 800 r a d s

ω 0 2 = 1 L C = 1 8 125 * 10 - 9 = 10 6 r a d s

Sendo assim, vemos que α 2 < ω 0 2 , portanto, utilizaremos a seguinte equação:

v t = B 1 e - 800 t cos ⁡ ω d t + B 2 e - 800 t sin ⁡ ω d t

Passo 2

Continuando o item (a), encontraremos agora os valores de ω d ,   B 1   e   B 2 da seguinte maneira:

ω d = ω 0 2 - α 2 = 10 6 - 640000 = 600 r a d s

Para encontrarmos B 1 vamos igualar v a 0:

v 0 = B 1 = 30

Para encontrarmos B 2 , utilizaremos os valores de i R ( 0 + ) e i C ( 0 + ) :

i R 0 + = 30 5000 = 6   m A

i C 0 + = - 12   m A

d v d t 0 + = - 0,012 125 * 10 - 9 = - 96.000 V s

d v d t 0 + = - α B 1 + ω d B 2     →     - 96000 = - 800 30 + 600 B 2       →     B 2 = - 120

Portanto, substituindo os valores na equação genérica, teremos:

v t = 30 e - 800 t cos ⁡ 600 t - 120 e - 800 t sin ⁡ 600 t   V ,       t ≥ 0

Passo 3

Já partindo para o item (b), determinaremos os primeiros três valores de t para os quais dv/dt é igual a zero. Sendo assim, temos:

d v d t = 6000 e - 800 t 13 sin ⁡ 600 t - 16 cos ⁡ 600 t

d v d t será zero quando 16 cos ⁡ 600 t = 13 sin ⁡ 600 t , ou quando tan ⁡ 600 t = 16 13 . Sendo assim:

600 t 1 = 0,8885 ,     t 1 = 1,48   m s

600 t 2 = 0,8885 + π ,     t 2 = 6,72   m s

600 t 3 = 0,8885 + 2 π ,     t 3 = 11,95   m s

Passo 4

Partindo para o item (c), sabemos que t 3 - t 1 = 11,95 - 1,48 = 10,47   m s . Além disso, sabemos que T d = 2 π ω d , portanto:

T d = 2 π 600 = 10,47   m s

Desse modo, provamos que: t 3 - t 1 =   T d

Passo 5

Partindo para o item (c), sabemos que t 2 - t 1 = 6,72 - 1,48 = 5,24   m s . Além disso, sabemos que T d = 2 π ω d , portanto:

T d 2 = 2 π 600 = 5,24   m s

Desse modo, provamos que: t 2 - t 1 = T d 2

Passo 6

No item (d), basta substituirmos os valores de t 1 ,   t 2   e   t 3 encontrados no passo 3, na fórmula do passo 2. Sendo assim, teremos:

v t 1 = 30 e - 1,184 cos ⁡ 0,8885 - 4 sin ⁡ 0,8885 = - 22,7   V

v t 2 = 30 e - 5,376 cos ⁡ 4,032 - 4 sin ⁡ 4,032 = 0,334   V

v t 3 = 30 e - 9,56 cos ⁡ 7,17 - 4 sin ⁡ 7,17 = - 5,22   m V

Passo 7

Por fim, plotando o gráfico de v ( t ) para 0 t ≤ t 2 , temos que:

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

a) v t = 30 e - 800 t cos ⁡ 600 t - 120 e - 800 t sin ⁡ 600 t   V ,       t ≥ 0 .

b) t 1 = 1,48   m s ; t 2 = 6,72   m s ; t 3 = 11,95   m s .

c) Resolução nos passos acima.

d) Resolução nos passos acima.

e) v t 1 = - 22,7   V ; v t 2 = 0,334   V ; v t 3 = - 5,22   m V .

f)

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Obtenha v ( t ) para t0 no circuito da Figura 8.73.
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