Enunciado

No circuito da figura, a chave é movida (o contato é fechado antes de abrir o anterior) da posição A para B em t = 0 . Determine v t para qualquer t ≥ 0 .

Passo 1

Acho interessante começar esse problema já considerando que a chave já está conectada ao B por um tempinho já, então o circuito se resume ah...

Onde Esse v t aí é quem devemos encontrar. Bora Resolver esse circuito então?

Passo 2

Bem, esse circuito pode ser resolvido usando a lei das malhas se lembrando de que a tensão em cima do indutor é v i = L   d i / d t :

v t + 10 i t + 0,25 d i t d t = 0

Ainda sabemos que a tensão em cima do capacitor é...

v t = 1 C ∫     i t d t   →

v ' t = 1 C i t

Por fim, vamos só substituir o C = 0,04 ...

v ' t = 1 0,04 i t

Ou seja, as duas equações diferenciais que precisamos resolve são essas aqui:

v t + 10 i t + 0,25 d i t d t = 0

v ' t = 25 i t

Passo 3

Beleza, então agora vamos resolvê-las aplicando a transformada de Laplace (nas duas equações)...

L v t + 10 i t + 0,25 d i t d t = 0

L v ' t = 25 L i t

Ora, lembrando-se das Laplaces das derivadas...

V s + 10 I s + 0,25 s I s - i 0 = 0

s V s - v 0 = 25 I s

Perceba então que temos que encontrar essas condições iniciais. Para isso, vamos utilizar aquelas informações lá sobre a chave no tempo t = 0 !

Passo 4

Bem, no tempo t = 0 , a chave fecha em B , mas ainda não se desconecta de A ...

Show, mas antes desse momento ( t < 0 ), tínhamos uma fonte de corrente (contínua) de 15 A , ligado em paralelo com um ramo de uma resistência de 4 Ω e outro ramo (ramo 2) com uma indutor e capacitor. Ora, em corrente contínua o indutor é um curto enquanto que o capacitor é um circuito aberto. Logo, a corrente de 15 A só está passando pela bobina e gerando essa tensão aqui:

v = 15.4 = 60

Essa tensão é a mesma em cima do capacitor (ele não tem corrente, mas não significa que não possa ter tensão, ok?).

Quando a chave se fechou, a corrente no indutor teve que permanecer 0 , pois o indutor impede mudanças rápidas na corrente, enquanto que a tensão no capacitor continua sendo v 0 = 60 , já que nele quem não pode ter mudanças rápidas é a tensão! Fique ligado ;)

Logo...

i 0 = 0

v 0 = 60

Passo 5

Podemos voltar então para os nossos cálculos:

V s + 10 I s + 0,25 s I s - i 0 = 0

s V s - v 0 = 25 I s

Substituindo agora as condições que encontramos...

V s + 10 I s + 0,25 s I s = 0

s V s - 60 = 25 I s

Isolando I s na segunda...

I s = 1 25 s V s - 2,4

E substituindo na primeira então...

V s + 10 I s + 0,25 s I s = 0   →

V s + 10 1 25 s V s - 2,4 + 0,25 s 1 25 s V s - 2,4 = 0   →

V s + 0,4 s V s - 24 + 1 100 s 2 V s - 0,6 s = 0   →

V s 1 + 0,4 s + 1 100 s 2 - 24 - 0,6 s = 0   →

V s 1 + 0,4 s + 1 100 s 2 = 24 + 0,6 s   →

V s = 24 + 0,6 s 1 + 0,4 s + 1 100 s 2   →

V s = 24 00 + 6 0 s 100 + 40 s + s 2   → 60 40 + s 100 + 40 s + s 2

Para inverter e encontrar a resposta pedida precisamos encontrar as raízes dessa equação do segundo grau:

100 + 40 s + s 2 = 0   →

s = - 40 ± 40 2 - 400 2     →

s 1 = - 37,3205       e   s 2 = - 2,6795

Então...

V s = 60 40 + s 100 + 40 s + s 2   = 60 40 + s s + 37,3205 s + 2,6795    

Separando em frações parciais...

V s = 60 0,077 s + 37,3205 + 1,077 s + 2,6795

Basta agora inverter usando a Laplace inversa:

v t = 6 0 L 0 , 077 s + 37,3205 + L 1,07 7 s + 2,6795   →

v t = 6 0 0,077 e - 37,3205 t + 1,07 7 e - 2,6795 t   →

Clara, isso depois de t = 0 , então a gente coloca um degrau na resposta:

v t = 60 0,077 e - 37,3205 t + 1,077 e - 2,6795 t u t  

Resposta

v t = 60 0,077 e - 37,3205 t + 1,077 e - 2,6795 t u t  

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