Enunciado

Determine v ( t ) para t > 0 no circuito da figura.

Passo 1

Vamos considerar que a chave abre em t = 0 . Então, o circuito está em regime permanente em t = 0^- . Nesse caso, o capacitor age como um circuito aberto e o indutor, como um curto circuito.

A fonte de corrente é 4 u ( t ) = 0 para t < 0 .

Desenhando o circuito em t = 0^- :

Passo 2

Vamos agora aplicar um divisor de tensão para calcular a corrente inicial através do indutor, i ( 0^- ) :

i ( 0^- ) = 3 A ((10 omega)/(10 omega + 5 omega))

i ( 0^- ) = 3 A ( 0.67 )

i ( 0^- ) = 2 A

Como no indutor não pode haver mudança repentina na corrente, então i ( 0^- ) = i ( 0^+ ) = 2 A

Passo 3

Vamos agora calcular a tensão através do capacitor, v ( 0^- )

v ( 0^- ) = i ( 0^- ) xx 5

v ( 0^- ) = 2 ( 5 )

v ( 0^- ) = 10 V

Como no capacitor não pode haver mudança repentina na tensão, então v ( 0^() ) = v ( 0^- ) = 10 V

Passo 4

Desenhando o circuito para t > 0

Usando transformação de fontes, teremos:

R = 5 omega

V = ( 5 omega ) ( 4 A )

V = 20 V

Passo 5

Então, chegamos nesse circuito:

Passo 6

Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões temos:

(- 10)/(s) + (1)/(4 s) I ( s ) + s I ( s ) - 2 + 5 I ( s ) + (20)/(s) = 0

I ( s ) [(1)/(4 s) + s + 5] = (10)/(s) - (20)/(s) + 2

I ( s ) [(1 + 4 s^2 + 20 s)/(4 s)] = ((2 s - 10)/(s))

I ( s ) = (8 s - 40)/(4 s^2 + 20 s + 1)

Passo 7

Vamos agora calcular a tensão através do capacitor:

V ( s ) = (- 1)/(s C^()) I ( s ) + (v ( 0 ))/(s)

V ( s ) = (10)/(s^()) - (1)/(4 s) ((8 s - 40)/(4 s^2 + 20 s + 1))

V ( s ) = (10)/(s^()) - ((0.5 s - 2.5)/(s ( s^2 + 5 s + 0.25))

V ( s ) = (10 ( s^2 + 5 s + 0.25 ) - 0.5 s + 2.5)/(s ( s^2 + 5 s + 0.25 )^())

V ( s ) = (10 s^2 + 49.5 s + 5)/(s ( s^() + 0.05051 ) ( s + 4.949 )^())

Passo 8

Agora vamos fazer as frações parciais na função V ( s ) .

V ( s ) = (A)/(s) + (B)/(( s + 0.05051 )) + (C)/(( s + 4.949 ))

Primeiro, calcular A:

A_s = 0 = s [(10 s^2 + 49.5 s + 5)/(s ( s + 0.05051 ) ( s + 4.949 ))]

A = [(10 s^2 + 49.5 s + 5)/(( s + 0.05051 ) ( s + 4.949 ))]

A = (10 ( 0 )^2 + 49.5 ( 0 ) + 5)/(( 0 + 0.05051 ) ( 0 + 4.949 ))

A = 20

Passo 9

Primeiro, calcular B:

B_s = - 0.05051 = ( s + 0.05051 ) [(10 s^2 + 49.5 s + 5)/(s ( s + 0.05051 ) ( s + 4.949 ))]

B = [(10 s^2 + 49.5 s + 5)/(s ( s + 4.949 ))]

B = (10 ( - 0.05051 )^2 + 49.5 ( - 0.05051 ) + 5)/(( - 0.05051 ) ( - 0.05051 + 4.949 ))

B = - 10.206

Passo 10

Primeiro, calcular C:

C_s = - 4.949 = ( s + 4.949 ) [(10 s^2 + 49.5 s + 5)/(s ( s + 0.05051 ) ( s + 4.949 ))]

C = [(10 s^2 + 49.5 s + 5)/(s ( s + 0.05051 ))]

C = (10 ( - 4.949 )^2 + 49.5 ( - 4.949 ) + 5)/(( - 4.949 ) ( - 4.949 + 0.05051 ))

C = 0.2052

Passo 11

Então, a expressão para a tensão de saída V ( s ) é:

V ( s ) = (20)/(s) - (10.206)/(( s + 0.05051 )) + (0.2052)/(( s + 4.949 ))

Aplicando a transformada de Laplace inversa nos dois lados da equação chegamos na resposta final:

v ( t ) = 20 u ( t ) - 10.206 e^(- 0.05051 t) u ( t ) + 0.2052 e^(- 4.949 t) u ( t )

v ( t ) = ( 20 - 10.206 e^(- 0.05051 t) + 0.2052 e^(- 4.949 t) ) u ( t ) V

Resposta

v ( t ) = ( 20 - 10.206 e^(- 0.05051 t) + 0.2052 e^(- 4.949 t) ) u ( t ) V

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