Enunciado

Um circuito RLC em paralelo tem R = 5 k Ω , L = 8 m H , e C = 60 µ F Determine:

(a) A frequência de ressonância.

(b) A largura de banda.

(c) O fator de qualidade.

Passo 1

Mas uma questão clássica de aplicação de fórmulas. Precisamos saber que em um R L C em paralelo temos essas relações:

Q = R ω 0 L = ω 0 C R = ω 0 B

Com essas relações podemos achar a resposta para todas as letras. Sabendo que:

ω 0 = F r e q u ê n c i a   a n g u l a r   d e   r e s s o n â n c i a    

Q = F a t o r   d e   q u a l i d a d e  

R = R e s i s t ê n c i a   é l e t r i c a

L = I n d u t â n c i a   é l e t r c i a

C = C a p a c i t â n c i a   é l e t r i c a

B = L a r g u r a   d e   b a n d a

Passo 2

Iniciaremos pela letra a,

Se olharmos as 2 primeiras igualdades da fórmula do passo 1, podemos desenvolver, e achar a frequência de ressonância:

R ω 0 L = ω 0 C R

R = ω 0 ⋅ L ⋅ ω 0 C R

R L C R = ω 0 2

R L C R =   ω 0

Agora substituindo os valores:

5 ⋅ 10 3 8 ⋅ 10 - 3     ⋅ 60 ⋅ 10 - 6 ⋅     5 ⋅ 10 3     =   ω 0

ω 0 = 1443 , 37 r a d s

ω 0 ≅ 1,443 k r a d s  

Passo 3

Agora acharemos a letra b,

Como já encontramos a frequência de ressonância, vamos usar a ultima igualdade do passo 1:

ω 0 C R = ω 0 B

Vamos desenvolver essa equação:

ω 0 C R ω 0 = 1 B

ω 0 C R ω 0 = 1 B

    C R = 1 B

B = 1 C R

B = 1 60 ⋅ 10 - 6 ⋅ 5 ⋅ 10 3

B = 3,33   r a d s

Veja que mesmo achando o ω 0 ,   no fundo nem precisamos dele para achar o B , pois o ω 0 foi simplificado, isso mostra que em certos casos o que buscamos em um circuito independe da frequência. Nesse exemplo poderíamos mudar a largura de banda B   alterando o valor da capacitância e da resistência. Isso é um principio útil em controle e é muito usado em telecomunicações. Nós conseguimos assistir diferentes canais na TV mais ou menos por isso.

Outra coisa interessante é perceber que mesmo se agente tivésse desenvolvido a equação com uma outra igualdade do passo 1, chegaríamos ao mesmo resultado, mas dessa vez o ω 0   não seria simplificado. Observe:

R ω 0 L = ω 0 B

R L = ω 0 ⋅ ω 0 B

R B L =   ω 0 2

B = L ω 0 2 R

B = 8 ⋅ 10 - 3 ⋅ 1,443 ⋅ 10 3 2 5 ⋅ 10 3

B = 3,33 r a d s

Por isso, sempre preste atenção aos detalhes matemáticos e desenvolva as expressões passo a passo.

Passo 4

Para finalizar vamos achar a letra c,

Simplesmente usamos mais uma vez as igualdades do passo 1,

Q = ω 0 B

Q = 1,443 ⋅ 10 3 3,33

Q =   432.9  

Lembre-se que o fator de qualidade é adimensional.

Resposta

l e t r a   ( a )   ω 0 ≅ 1,443 k r a d s

l e t r a   ( b )   B = 3,33 r a d s

l e l t a   ( c )   Q =   432.9  

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