Enunciado

Em um circuito RC em série, determine:

a) τ para R = 2   k Ω e C =   10   μ F

b) C para R = 10   k Ω e τ =   20   μ s

c) R para υ ( t ) no capacitor de 2   μ F se reduzindo pela metade a cada 20 ms.

Passo 1

Olá pessoal, mais um exercício de circuitos RC para animar os estudos!

Mas antes de iniciarmos, vamos anotar as informações fornecidas pelo problema:

a) R = 2   k Ω → 2   x   10 3 Ω e C =   10   μ F → 10   x   10 - 6 F

b) R = 10   k Ω   → 10   x   10 3 Ω e τ =   20   μ s   → 20   x   10 - 6   s

c) C =   2   μ F   → 2   x   10 - 6   F e   t = 20   m s   → 20   x   10 - 3   s

Esse passo é importante para que possamos fazer as conversões de unidades adequadas.

Passo 2

a) Para esse primeiro item, temos a equação da constante de tempo τ , expressa por:

τ =   R ∙ C

Como já possuímos todas as informações, temos:

τ = 2   x   10 3 ∙ 10   x   10 - 6 =   20   x   10 - 3 s

τ = 20   m s

Passo 3

b) No segundo item, podemos utilizar a mesma equação:

τ =   R ∙ C

Só precisamos reorganizar, para isolar a variável que precisamos determinar, sendo reescrita da forma:

C = τ R

Agora só precisamos inserir as informações do item (b):

C = 20   x   10 - 6 10   x   10 3 =   2   x   10 - 9   F =   2   n F

Passo 4

c) Neste item, precisamos de um raciocínio um pouco mais complexo. Como primeira etapa, precisamos saber o valor de υ ( t ) para o instante inicial, que corresponde a υ ( t = 0 ) . Sendo a expressão geral, escrita por:

υ ( t ) =   V 0 ∙ e - t R   ∙ C

Para o instante de tempo t = 0 s , temos:

υ ( t ) =   V 0 ∙ e 0 = V 0  

Para esse valor cair pela metade, a exponencial tem que assumir o valor (1/2) em t =   200   m s , sendo assim:

e - t R   ∙ C =   1 2

Agora só precisamos isolar o R da equação.

l n e - t R   ∙ C = l n   1 2

- t R   ∙ C =   l n   1 2

R =   - t l n   1 2 ∙ C

Inserindo as informações do problema, temos:

R =   - 200   x   10 - 3 l n   1 2 ∙ 2   x   10 - 6 =   14,43   x   10 3 Ω

R =   14,43   k Ω

Resposta

a) τ = 20   m s ; b) C =   2   n F ; c) R =   14,43   k Ω

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Plotev para 0t10 m s se v ( 0 ) = 10 V .