Começando com da lei de força de Lorentz, na forma da Eq. 5.16, mostre que o torque em qualquer distribuição de corrente permanente (não apenas uma espira quadrada) em um campo uniforme B é m × B .

Passo 1

Falai galerinha, tudo certo:

Como diria a Viúva Negra, “Ainda somos amigos, certo?”

Boraaa fazer essa comigo

A expressão para a força de Lorentz é

d F = I ( d l × B )

Onde, dl é um pequeno elemento de corrente colocado em um campo magnético B.

O torque devido ao elemento dF ligado ao dl é

d N = r × d F

d N = r × I ( d l × B )

d N = I r × d l × B                       ( 1 )

Como,

d r × r × B = d l × r × B + r × d l × B                   ( 2 )

d l × B × r = r × d l × B - d r × r × B                       ( 3 )

Passo 2

Pelas expressões 2 e 3, podemos manipular elas e iremos obter

2 r × d l × B + B × r × d l - d r × r × B = 0

r × d l × B = 1 2 d r × r × B - B × r × d l                           ( 4 )

Agora iremos substituir a expressão que acabamos de encontrar, no caso a 4, na expressão 1

d N = I 1 2 d r × r × B - B × r × d l

Passo 3

O torque total exercido na distribuição de corrente constante é

N = 1 2 I ∮ d r × r × B - ∮ B × r × d l

Como

∮ d r × r × B = 0

∮ B × r × d l = B × 2 a

N = 1 2 I - B × 2 a

= - B × I a

Como o momento magnético é m = I a

N = - B × m = m × B

“Nós somos Groot”

Resposta

Portanto, o torque em qualquer distribuição de corrente em regime permanente é igual a m × B .