Compare as equações 2.15, 4.9 e 6,11. Observe que se ρ ,   P e M são uniformes, a mesma integral está envolvida nos três:

∫ r ^ r 2 d τ '

Portanto, se você conhece o campo elétrico de um objeto uniformemente carregado, pode imediatamente escrever o potencial escalar de um objeto uniformemente polarizado, e o potencial vetorial de um objeto uniformemente magnetizado com o mesmo formato. Use a observação para obter 𝑉 dentro e fora de uma esfera uniformemente polarizada (Exemplo 4.2) e 𝐴 dentro e fora de uma esfera uniformemente magnetizada (Exemplo 6.1).

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Antes de começar, vamos as equações citadas no enunciado. Sendo assim temos:

E q u a ç ã o   2.15 : E = ρ 1 4 π ϵ 0 ∫ ν r ^ r 2 d τ ' ,   P a r a   d e n s i d a d e   d e   c a r g a   u n i f o r m e .     E q u a ç ã o   4.9 : V = P ∙ 1 4 π ϵ 0 ∫ ν r ^ r 2 d τ ' ,   P a r a   p o l a r i z a ç ã o   u n i f o r m e .     E q u a ç ã o   6.11 : A = μ 0 ϵ 0 M × 1 4 π ϵ 0 ∫ ν r ^ r 2 d τ ' ,   P a r a   m a g m e t i z a ç ã o   u n i f o r m e .  

Vamos considerar agora uma esfera carregada uniformemente de raio R.

Conseguimos rapidamente expressar o campo elétrico dentro e fora da esfera como sendo:

E r < R = ρ 1 3 ϵ 0 r E r > R = ρ 1 3 ϵ 0 R 3 r 2 r ^      

Passo 2

Sabendo o resultado para o campo elétrico dentro e fora de uma esfera carregada uniformemente, podemos simplesmente alterar para o potencial elétrico, sendo assim, temos que:

V r < R = 1 3 ϵ 0 P ∙ r

V r > R = 1 3 ϵ 0 R 3 r 2 P ∙ r ^

Sabendo o resultado para o campo elétrico dentro e fora de uma esfera carregada uniformemente, podemos simplesmente alterar para o potencial magnético, sendo assim, temos que:

A r < R = μ 0 3 M ∙ r

A r > R = μ 0 3 R 3 r 2 M ∙ r ^

Vale ressaltar que como as equações E,V e A são dependentes de 1 4 π ϵ 0 ∫ ν r ^ r 2 d τ ' , sabendo o resultado de uma das três, que no nosso caso usamos o resultado para o campo elétrico (E) dentro e fora de uma esfera uniformemente carregada e mudamos as expressões de tal maneira que fique em função de V e A.

Assim finalizamos mais uma questão. Até a próxima!!

Resposta

Dedução nos passos acima.