a) Complete a prova do Teorema 2, Seção 1.6.2. Ou seja, mostre que qualquer campo vetorial F com divergente nulo pode ser expresso como o rotacional de um potencial vetorial A . O que você tem de fazer é encontrar A x , A y   e   A z de forma que: i ∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z = F x , i i ∂ A x ∂ z - ∂ A z ∂ x = F y e i ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y = F z . Eis uma maneira de fazê-lo: Escolha A x = 0 e resolva (ii) e (iii) para A y e A z . Observe que as ‘constantes de integração’ aqui são elas próprias funções de y e z – são constantes apenas com respeito a x . Agora, coloque essas expressões em (i), e use o fato de que ∇ ∙ F = 0 para obter

A y = ∫ 0 x F z x ' , y , z d x ' ;   A z = ∫ 0 y F x 0 , y ' , z d y ' - ∫ 0 x F y x ' , y , z d x '

b) Por diferenciação direta, verifique se o A que você obteve na parte (a) satisfaz ∇ × A = F tem divergente nulo? [Esta foi uma construção bastante assimétrica e seria surpreendente se tivesse – embora saibamos que existe um vetor cujo rotacional é F e cujo divergente é nulo.]

c) Como exemplo, considere que F = y x ^ + z y ^ + x z ^ . Calcule A , e confirme que ∇ × A = F (Para aprofundar a discussão, consulte o Problema 5.51)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Se nós escolhemos A x = 0 , então, nós temos as seguintes equações

∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z = F x   1

∂ A z ∂ x = - F y   ( 2 )

∂ A y ∂ x = F z   3

Integrando as equações ( 2 ) e ( 3 ) do intervalo de 0   a x , nós obtemos que:

A y = ∫ 0 x F z x ' , y , z   d x ' + C y , z

A z = - ∫ 0 x F y x ' , y , z d x ' + D y , z

Colocando-os em (1) e usando o fato de que o campo F não tem divergência

- ∫ 0 x ∂ F y ∂ y x ' , y , z d x ' + ∂ D ∂ y - ∫ 0 x ∂ F z ∂ z x ' , y , z d x ' - ∂ C ∂ z = F x

Desenvolvendo um pouco mais os termos, obtemos que

∫ 0 x ∂ F x ∂ x + ∂ F z ∂ z x ' , y , z d x ' + ∂ D ∂ y - ∫ 0 x ∂ F z ∂ z x ' , y , z d x ' - ∂ C ∂ z = F x

Com isso, nós temos que

F x x , y , z - F x 0 , y , z - ∂ C ∂ z + ∂ D ∂ y = F x x , y , z

Logo,

∂ D ∂ y - ∂ C ∂ z = F x ( 0 , y , z )

Se nós escolhemos a função C y , z = 0 , então nós conseguimos

D y , z = ∫ 0 y F x 0 , y ' , z d y '

Portanto,

A x = 0 ; A y = ∫ 0 y F z x ' , y , z d x ' ; A z = ∫ 0 y F x 0 , y ' , z d y ' - ∫ 0 y F x x ' , y , z d x '

Onde nós escolhemos que a função D 0 , z = 0 , (podemos fazer isso, já que apenas sua derivada y importa, devido à condição)

Passo 2

B - Vamos verificar se o rotacional dessa função realmente é igual a F →

∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z = F x 0 , y , z - ∫ 0 x ∂ F y ∂ y x ' , y , z d x ' - ∫ 0 x ∂ F z ∂ z x ' , y , z d x '

Logo,

∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z = F x 0 , y , z + F x x , y , z - F x 0 , y , z = F x x , y , z

Para o caso de ∂ A z ∂ x = 0 - ∂ ∂ x ∫ 0 x F y x ' , y , z   d x ' = - F y x , y , z e para ∂ A y ∂ x = F z ( x , y , z ) . Assim, todas as três equações são satisfeitas, se A → é sem divergência, então

∇ ∙ A → = ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z

Com isso,

∇ ∙ A → = ∫ 0 x ∂ F z ∂ y x ' , y , z d x ' + ∫ 0 y ∂ F z ∂ z 0 , y ' , z d y ' - ∫ 0 x ∂ F y ∂ z x ' , y , z d x ' ≠ 0

Em geral, o potencial vetorial não parece sem divergência!

Passo 3

C – Usando as seguintes equações

∂ A z ∂ x = - z → A z = - z x + D y , z

∂ A y ∂ x = x → A y = x 2 2 + C y , z

Supondo que A x = 0 e C = 0 , obtemos que

∂ D ∂ y - ∂ C ∂ z = y → D = 1 2 y 2

Logo,

A → = x 2 2 y ^ + y 2 2 - z x z ^

Checando a solução

∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z = y = F x

- ∂ A z ∂ x = z = F y

∂ A y ∂ x = x = F z

Podemos perceber que ∇ × A → = F → ∴

Resposta

a )   A x = 0 ;  

A y = ∫ 0 y F z x ' , y , z d x ' ;

A z = ∫ 0 y F x 0 , y ' , z d y ' - ∫ 0 y F x x ' , y , z d x '

b )   ∇ × A → = F →

∇ ∙ A → ≠ 0

c )   A → = x 2 2 y ^ + y 2 2 - z x z ^