a) Complete a prova do Teorema 2, Seção 1.6.2. Ou seja, mostre que qualquer campo vetorial com divergente nulo pode ser expresso como o rotacional de um potencial vetorial . O que você tem de fazer é encontrar de forma que: , e . Eis uma maneira de fazê-lo: Escolha e resolva (ii) e (iii) para e . Observe que as ‘constantes de integração’ aqui são elas próprias funções de e – são constantes apenas com respeito a . Agora, coloque essas expressões em (i), e use o fato de que para obter
b) Por diferenciação direta, verifique se o que você obteve na parte (a) satisfaz tem divergente nulo? [Esta foi uma construção bastante assimétrica e seria surpreendente se tivesse – embora saibamos que existe um vetor cujo rotacional é F e cujo divergente é nulo.]
c) Como exemplo, considere que . Calcule , e confirme que (Para aprofundar a discussão, consulte o Problema 5.51)
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A – Se nós escolhemos , então, nós temos as seguintes equações
Integrando as equações e do intervalo de a , nós obtemos que:
Colocando-os em (1) e usando o fato de que o campo F não tem divergência
Desenvolvendo um pouco mais os termos, obtemos que
Com isso, nós temos que
Logo,
Se nós escolhemos a função , então nós conseguimos
Portanto,
Onde nós escolhemos que a função , (podemos fazer isso, já que apenas sua derivada y importa, devido à condição)
Passo 2
B - Vamos verificar se o rotacional dessa função realmente é igual a
Logo,
Para o caso de e para . Assim, todas as três equações são satisfeitas, se é sem divergência, então
Com isso,
Em geral, o potencial vetorial não parece sem divergência!
Passo 3
C – Usando as seguintes equações
Supondo que e , obtemos que
Logo,
Checando a solução
Podemos perceber que