Para a configuração no Exemplo 10.1, considere uma caixa retangular de comprimento L , largura w e altura h , situada a uma distância d acima do plano y z (Figura 10.2).

a) Encontre a energia na caixa no tempo t 1 = d / c e em t 2 = d + h c .

b) Encontre o vetor de Poynting e determine a energia por unidade de tempo que flui para dentro da caixa no intervalo t 1 < t < t 2 .

c) Integre o resultado em (b) de t 1 a t 2 e confirme que o aumento de energia (parte (a)) é igual a ao influxo líquido.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Os campos elétrico e magnético para x > 0 são:

E → = - μ 0 k 2 c t - x z ^

B → = μ 0 k 2 c ( c t - t ) y ^

No instante t 1 , a ativação da corrente acaba de chegar ao fundo da caixa e, portanto, não há energia nela. No instante t 2 a 'onda' atingiu o topo da caixa e a densidade de energia na caixa é:

u = ϵ 0 2 E 2 + 1 2 μ 0 B 2

Desenvolvendo um pouco mais

u = ϵ 0 2 μ 0 k 2 c t 2 - x 2 + 1 2 μ 0 μ 0 k 2 c c t 2 - x 2

Com isso, nós temos que

u = μ 0 k 2 4 c 2 c t 2 - x 2

Onde nós utilizamos ϵ 0 = 1 / μ 0 c 2 . A energia total é dada por

U = w l ∫ d d + h w   d x = w l μ 0 k 2 4 c 2 ∫ d d + h c t 2 - x 2 d c t 2 - x - 1

Que será igual a

U = μ 0 k 2 12 c 2 w l h 3

Passo 2

B – O vetor de Poynting é dado por:

S → = 1 μ 0 E → × B →

Substituindo os valores, nós temos que

S → = 1 μ 0 - μ 0 k 2 c t - x z ^ × μ 0 k 2 c t - x y ^

Com isso, nós temos que

S → = μ 0 k 2 4 c c t - x 2 x ^

Com isso, nós temos que

P = S → ∙ w l x ^

Substituindo novamente

P = μ 0 k 2 4 c c t - d 2 w l

Já que estamos interessados ​​no fluxo de energia no plano x = d .

Passo 3

C - A energia total que entra na caixa pela parte inferior é, portanto, a integral do tempo dos tempos t 1 a t 2 :

U = ∫ t 1 t 2 P   d t = μ 0 k 2 4 c w l ∫ d c d + h c c t - d 2   d t

Que nos dá o seguinte resultado

U = μ 0 k 2 12 c 2 w l h 3

Que é o mesmo que a) parte do problema, como deve ser.

Resposta

a )   U t 1 = 0 ,   U t 2 = μ 0 k 2 12 c 2 w l h 3

b )   S → = μ 0 k 2 4 c c t - x 2 x ^ ;   P = μ 0 k 2 4 c c t - d 2 w l

c )   U = μ 0 k 2 12 c 2 w l h 3