Confirme que os potenciais retardados satisfazem a condição de calibre de Lorentz. [Dica: mostre primeiro que
onde denota derivadas com respeito a , e denota derivadas com respeito a . Em seguida, observando que depende tanto de tanto explicitamente quanto implicitamente por meio de , enquanto depende de somente através de , conforme
Use isso para calcular o divergente de (Equação 10.19).]
Passo 1
Fala, galera! Que cês mandam? Mais uma questão? Então, vamos lá!
Vamos seguir a sugestão do livro, tá bom? Primeiro, a gente usa a regra do produto para obter
Como , então, . Vamos usar esse resultado na primeira equação:
Agora, a gente usa a segunda equação para obter o termo e substituir na equação acima:
Passo 2
Usando a regra da cadeia, podemos mostrar que
Além disso, como o tempo retardado é , temos
Assim,
Seguindo o mesmo raciocínio, dá pra mostrar que
onde usamos a equação da continuidade na penúltima igualdade.
Passo 3
Voltando aqui pras equações que a gente tinha no Passo 1 e usando os resultados do Passo 2:
onde os termos com e se cancelam porque .
Passo 4
Agora, podemos usar esses resultados para calcular o divergente de
Temos
vai a zero no infinito, que é justamente onde a integral de superfície é calculada. Assim,
que era o que a gente precisava provar. Gostou desta resolução? Responde Aí!
Resposta
Veja a resolução acima.