Confirme que os potenciais retardados satisfazem a condição de calibre de Lorentz. [Dica: mostre primeiro que

∇ ⋅ J → r _ = 1 r _ ( ∇ ⋅ J → ) + 1 r _ ( ∇ ' ⋅ J → ) - ∇ ' ⋅ J → r _

onde denota derivadas com respeito a r → , e ∇ ' denota derivadas com respeito a r → ' . Em seguida, observando que J → ( r → ' , t - r _ / c ) depende tanto de r → ' tanto explicitamente quanto implicitamente por meio de r _ , enquanto depende de r → somente através de r _ , conforme

∇ ⋅ J → = - 1 c J → ⋅ ( ∇ r ̄ ) ,   ∇ ' ⋅ J → = - ρ ˙ - 1 c J → ˙ ⋅ ( ∇ ' r ̄ )

Use isso para calcular o divergente de A → (Equação 10.19).]

Passo 1

Fala, galera! Que cês mandam? Mais uma questão? Então, vamos lá!

Vamos seguir a sugestão do livro, tá bom? Primeiro, a gente usa a regra do produto para obter

∇ ⋅ J → r _ = 1 r _ ∇ ⋅ J → + J → ⋅ ( ∇ 1 r _ )

∇ ' ⋅ J → r _ = 1 r _ ∇ ' ⋅ J → + J → ⋅ ( ∇ ' 1 r _ )

Como r → ̄ = r → - r → ' , então, ∇ 1 r _ = - ∇ ' 1 r _ . Vamos usar esse resultado na primeira equação:

∇ ⋅ J → r _ = 1 r _ ∇ ⋅ J → - J → ⋅ ( ∇ ' 1 r _ )

Agora, a gente usa a segunda equação para obter o termo J → ⋅ ( ∇ ' 1 r _ ) e substituir na equação acima:

∇ ' ⋅ J → r _ = 1 r _ ∇ ' ⋅ J → + J → ⋅ ( ∇ ' 1 r _ ) ⇒ J → ⋅ ( ∇ ' 1 r _ ) = ∇ ' ⋅ J → r _ - 1 r _ ∇ ' ⋅ J →

⇒ ∇ ⋅ J → r _ = 1 r _ ∇ ⋅ J → - J → ⋅ ( ∇ ' 1 r _ ) = 1 r _ ∇ ⋅ J → - ∇ ' ⋅ J → r _ + 1 r _ ∇ ' ⋅ J →

Passo 2

Usando a regra da cadeia, podemos mostrar que

∇ ⋅ J → = d J x d x + d J y d y + d J z d z = ∂ J x ∂ t r ∂ t r ∂ x + ∂ J y ∂ t r ∂ t r ∂ y + ∂ J z ∂ t r ∂ t r ∂ z

Além disso, como o tempo retardado é t r = t - r ̄ / c , temos

d t r d x = - 1 c ∂ r ̄ ∂ x ,   d t r d y = - 1 c ∂ r ̄ ∂ y ,   d t r d z = - 1 c ∂ r ̄ ∂ z

Assim,

∇ ⋅ J → = - 1 c d J x d t r ∂ r ̄ ∂ x + d J y d t r ∂ r ̄ ∂ y + d J z d t r ∂ r ̄ ∂ z = - 1 c ∂ J → ∂ t r ⋅ ∇ r ̄

Seguindo o mesmo raciocínio, dá pra mostrar que

∇ ' ⋅ J → = d J x d x ' + d J y d y ' + d J z d z '

∇ ' ⋅ J → = ∂ J x ∂ x ' + ∂ J y ∂ y ' + ∂ J z ∂ z ' + ∂ J x ∂ t r ∂ t r ∂ x ' + ∂ J y ∂ t r ∂ t r ∂ y ' + ∂ J z ∂ t r ∂ t r ∂ z '

∇ ' ⋅ J → = ∂ J x ∂ x ' + ∂ J y ∂ y ' + ∂ J z ∂ z ' - 1 c d J x d t r ∂ r ̄ ∂ x ' + d J y d t r ∂ r ̄ ∂ y ' + d J z d t r ∂ r ̄ ∂ z '

∇ ' ⋅ J → = - ∂ ρ ∂ t - 1 c ∂ J → ∂ t r ⋅ ∇ ' r ̄

∇ ' ⋅ J → = - ρ ˙ - 1 c ∂ J → ∂ t r ⋅ ∇ ' r ̄

onde usamos a equação da continuidade na penúltima igualdade.

Passo 3

Voltando aqui pras equações que a gente tinha no Passo 1 e usando os resultados do Passo 2:

∇ ⋅ J → r _ = 1 r _ ∇ ⋅ J → - J → ⋅ ( ∇ ' 1 r _ ) = 1 r _ ∇ ⋅ J → - ∇ ' ⋅ J → r _ + 1 r _ ∇ ' ⋅ J →

⇒ ∇ ⋅ J → r _ = - 1 c r _ ∂ J → ∂ t r ⋅ ∇ r ̄ - 1 r _ ρ ˙ - 1 r ̄ c ∂ J → ∂ t r ⋅ ∇ ' r ̄ - ∇ ' ⋅ J → r _

∇ ⋅ J → r _ = - 1 r _ ρ ˙ - ∇ ' ⋅ J → r _

onde os termos com ∇ r ̄ e ∇ ' r ̄ se cancelam porque ∇ r ̄ = - ∇ ' r ̄ .

Passo 4

Agora, podemos usar esses resultados para calcular o divergente de

A → ( r → , t ) = μ 0 4 π ∫ J → ( r → ' , t r ) r ̄ d τ '

Temos

∇ ⋅ A → ( r → , t ) = μ 0 4 π ∫ ∇ ⋅ J → ( r → ' , t r ) r ̄ d τ '

∇ ⋅ A → ( r → , t ) = μ 0 4 π ∫ - 1 r _ ρ ˙ - ∇ ' ⋅ J → r _ d τ '

∇ ⋅ A → ( r → , t ) = - μ 0 ϵ 0 ∂ ∂ t 1 4 π ϵ 0 ∫ 1 r _ ρ d τ ' - ∫ ∇ ' ⋅ J → r _ d τ '

∇ ⋅ A → ( r → , t ) = - μ 0 ϵ 0 ∂ ∂ t 1 4 π ϵ 0 ∫ 1 r _ ρ d τ ' - ∮ J → r _ ⋅ d a '

J → vai a zero no infinito, que é justamente onde a integral de superfície é calculada. Assim,

∇ ⋅ A → ( r → , t ) = - μ 0 ϵ 0 ∂ V ∂ t

que era o que a gente precisava provar. Gostou desta resolução? Responde Aí!

Resposta

Veja a resolução acima.