Considere um capacitor de placas paralelas infinito, cuja placa inferior (em z = - d / 2 ) tem densidade de carga - σ , e cuja placa superior (em z = + d / 2 ) tem densidade de carga + σ .

(a) Determine todos os noves elementos do tensor das tensões, na região entre as placas. Expresse sua resposta como uma matriz 3 × 3 :

T x x T x y T x z T y x T y y T y z T z x T z y T z z

(b) Use a Equaçao 8.22 para determinar a força por unidade de área na placa superior. Compare com a Equação 2.51.

(c) Qual é o momento por unidade de área, por unidade de tempo que atravessa o plano x y (ou qualquer outro plano paralelo a esse, entre as placas)?

(d) Nas placas, esse momento é absorvido e elas recuam (a menos que haja alguma força não elétrica que as mantenha em posição). Encontre a força de recuo por unidade de área na placa superior e compare sua resposta com (b). [Observação: essa não é uma força adicional, mas uma maneira alternativa de calcular a mesma força – em (b) nós obtivemos pela lei de força, e em (d), pela conservação do momento.]

Passo 1

Falaaa, meu querido/ minha querida!! Para encontramos o tensor das tensões usamos a fórmula abaixo:

T i j = ϵ 0 E i E j - 1 2 δ i j E 2 + 1 μ 0 B i B j - 1 2 δ i j B 2

Não, há corrente fluindo nas placas, logo, o campo magnético será 0. E pelo Exemplo 2.5, sabemos que o campo elétrico entre as placas na direção z é:

E z = - σ ϵ 0

Bora para os cálculos!!!

Passo 2

Como sabemos que o campo elétrico na direção de x e y será zero. Então, podemos concluir que T i j = 0 quando i ≠ j . Logo, nossa matriz será composta quase toda por zero. Calculando as que nos restam:

T x x = ϵ 0 E x E x - 1 2 δ x x E 2 + 1 μ 0 B x B x - 1 2 δ x x B 2

= ϵ 0 0 - 1 2 E x 2 + E y 2 + E z 2

= - σ 2 2 ϵ 0

T y y = - σ 2 2 ϵ 0

T z z = ϵ 0 E z E z - 1 2 δ z z E 2 + 1 μ 0 B z B z - 1 2 δ z z B 2

T z z = ϵ 0 E z 2 - 1 2 E z 2

= σ 2 2 ϵ 0

Sendo assim, a matriz que o enunciado nos pediu é:

T ⃡ = - σ 2 2 ϵ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

Passo 3

A Equação 8.22 é a seguinte:

F = ∮ S T ⃡ ∙ d a - ϵ 0 μ 0 d d t ∫ V S d r

A segunda integral será igual a zero, porque o campo magnético é zero e o vetor de Poynting é E × B / μ 0 .

Agora, d a pode ser escrito como:

d a = - d x   d y   z ^

Como d a é na direção de z , apenas T z z não vai zerar no produto de T ⃡ ∙ d a , porque T x x e T y y são perpendiculares ao plano.

F z = ∫ T z z d a

= - T z z A

f z = F z A

f = - σ 2 2 ϵ 0 z ^

Passo 4

O momento por unidade de área, por unidade de tempo, será justamente T z z . Isso, porque é o único componente do tensor das tensões que cruza o plano x y .

- T z z = - σ 2 2 ϵ 0

Passo 5

A força de recuo será a mesma força que calculamos no Passo 3.

f = - σ 2 2 ϵ 0 z ^

Resposta

  1. T ⃡ = - σ 2 2 ϵ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1
  2. f = - σ 2 2 ϵ 0 z ^
  3. - T z z = - σ 2 2 ϵ 0
  4. f = - σ 2 2 ϵ 0 z ^