Considere a partícula em movimento hiperbólico,

x t = b 2 + c t 2

y = z = 0

(a) Encontre o tempo próprio τ como função de t , assumindo que os relógios estão ajustados de forma que τ = 0 quando t = 0 . [Dica: integre a Equação 12.37.]

(b) Encontre x e v (velocidade ordinária) como funções de τ .

(c) Encontre η μ (velocidade própria) como função de t .

Passo 1

(a) Do problema 11.31, temos

γ = 1 b b 2 + c 2 t 2

∴ τ = ∫ 1 γ d t = b ∫ d t b 2 + c 2 t 2 = b c ln ⁡ c t + b 2 + c 2 t 2 + k

t = 0 , nós temos τ = 0 :

0 = b c ln ⁡ b + k

Então,

k = - b c ln ⁡ b

τ = b c ln ⁡ 1 b c t + b 2 + c 2 t 2

Passo 2

(b)

x 2 - b 2 + x = b e c τ / b

x 2 - b 2 = b e c τ / b - x

x 2 - b 2 = b 2 b e 2 c τ b - 2 x b b e 2 c τ / b   + x 2  

2 x b e c τ / b = b 2 1 + e 2 c τ / b

x = b e c τ / b + e - c τ / b 2 = b cosh ⁡ c τ / b

Do Problema 11.31:

v = c 2 t / b 2 + c 2 t 2

v = c x x 2 - b 2 = c b cosh ⁡ c τ / b b 2 cosh 2 ⁡ c τ / b - b 2

= c cosh 2 ⁡ c τ / b - 1 cosh ⁡ c τ / b = c tanh ⁡ c τ b

Passo 3

(c)

η μ = γ ( c ,   v ,   0 ,   0 )

γ = x b = cosh ⁡ c τ b

Então,

η μ = cosh ⁡ c τ b c , c tanh ⁡ c τ b ,   0 ,   0

= c cosh ⁡ c τ b , sinh ⁡ c τ b , 0 ,   0

Resposta

Ver Passo 1, 2 e 3.