Considere que r seja o vetor separação de um ponto fixo ( x ' ,   y ' ,   z ' ) até o ponto ( x ,   y ,   z ) e que r é seu comprimento. Mostre que:

  1. ∇ r 2 = 2 r ;
  2. ∇ 1 r = - r ^ / r 2 .
  3. Qual é a fórmula geral para ∇ r n ?

Passo 1

Fala galera!

Então, teremos:

r = x - x ' x ^ + y - y ' y ^ + z - z ' z ^

Logo:

r = x - x ' 2 + y - y ' 2 + z - z ' 2

Passo 2

  1. ∇ r 2 = 2 r
  2. r 2 = x - x ' 2 + y - y ' 2 + z - z ' 2 2 = x - x ' 2 + y - y ' 2 + z - z ' 2

    ∇ r 2 = ∂ ∂ x x - x ' 2 + y - y ' 2 + z - z ' 2 x ^ + ∂ ∂ x x - x ' 2 + y - y ' 2 + z - z ' 2 y ^ + ∂ ∂ x x - x ' 2 + y - y ' 2 + z - z ' 2 z ^

    ∇ r 2 = 2 x - x ' x ^ + 2 y - y ' y ^ + 2 z - z ' z ^

    ∇ r 2 = 2 x - x ' x ^ + y - y ' y ^ + z - z ' z ^ = 2 r

    Passo 3

  3. ∇ 1 r = - r ^ / r 2
  4. 1 r = 1 x - x ' 2 + y - y ' 2 + z - z ' 2 = x - x ' 2 + y - y ' 2 + z - z ' 2 - 1 2

    ∇ 1 r = ∂ ∂ x x - x ' 2 + y - y ' 2 + z - z ' 2 - 1 2   x ^ + ∂ ∂ x x - x ' 2 + y - y ' 2 + z - z ' 2 - 1 2   y ^ + ∂ ∂ x x - x ' 2 + y - y ' 2 + z - z ' 2 - 1 2   z ^

    ∇ 1 r = - 1 2 x - x ' 2 + y - y ' 2 + z - z ' 2 - 3 2 ∙ 2 x - x ' x ^ - 1 2 x - x ' 2 + y - y ' 2 + z - z ' 2 - 3 2 ∙ 2 y - y ' y ^ - 1 2 x - x ' 2 + y - y ' 2 + z - z ' 2 - 3 2 ∙ 2 z - z ' z ^

    ∇ 1 r = - x - x ' 2 + y - y ' 2 + z - z ' 2 - 3 2 x - x ' x ^ + y - y ' y ^ + z - z ' z ^

    ∇ 1 r = - x - x ' x ^ + y - y ' y ^ + z - z ' z ^ x - x ' 2 + y - y ' 2 + z - z ' 2 3 = - r r 3 = - r ^ r 2

    Passo 4

  5. Qual é a fórmula geral para ∇ r n ?

∇ r n = ∂ ∂ x r n

∇ r n = n r n - 1 ∂ r ∂ x

∇ r n = n r n - 1 1 2 1 r 2 r x

∇ r n = n r n - 1 r ^ x

Assim, temos:

∇ r n = n r n - 1 r ^

Resposta

Compreendeu aí o desenvolvimento?Qualquer dúvida, manda pra cá!