Construa uma função vetorial que tenha divergente nulo e rotacional nulo em todos os pontos. (Uma constante irá funcionar, é claro, mas faça um pouco mais interessante que isso!)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, nós estamos procurando o campo vetorial F em que o divergente nulo ∇ × F = 0 e o rotacional nulo ∇ ∙ F = 0 . Se f é uma função escalar, nós temos que

∇ × ∇ f = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ z

Isso mostra que uma classe de funções que satisfaz a primeira equação são os gradientes de uma função escalar (isso decorre da comutatividade de derivadas parciais). Então em busca de F , nós podemos supor que F = ∇ f .

Passo 2

Inserindo isso na segunda equação temos

∇ ∙ ∇ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0

Essa equação é chamada de equação de Laplace. Supondo que f x , y , z = X x Y y Z ( z ) , isso significa basicamente que a EDP se torna uma EDO linear, a equação se torna

X ' ' X + Y ' ' Y + Z ' ' Z = 0

O primeiro termo depende apenas de x , o segundo de y e o terceiro apenas de z , então para que sua soma seja igual a zero, cada um tem que ser igual a uma constante. Podemos facilitar nossas vidas definindo Z = 1 , então nós temos que X ' ' + k 2 X = 0 e Y ' ' - k 2 Y = 0 . Portanto, uma (de muitas) solução para a equação 1 é f x , y , z = cos ⁡ ( x ) e y e assim um exemplo de um campo vetorial com uma curva zero e divergência é igual a

F = ( - e y sen ⁡ x , e x cos ⁡ x , 0 )

Na verdade, se o rotacional de um campo vetorial definido em R 3 é zero, pode-se mostrar que é precisamente o gradiente de alguma função escalar. Portanto, as soluções da equação de Laplace geram todos os campos vetoriais com curvatura e divergência iguais a zero.

Resposta

F = ( - e y sen ⁡ x , e x cos ⁡ x , 0 )