Construa uma função vetorial que tenha divergente nulo e rotacional nulo em todos os pontos. (Uma constante irá funcionar, é claro, mas faça um pouco mais interessante que isso!)
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Primeiramente, nós estamos procurando o campo vetorial em que o divergente nulo e o rotacional nulo . Se é uma função escalar, nós temos que
Isso mostra que uma classe de funções que satisfaz a primeira equação são os gradientes de uma função escalar (isso decorre da comutatividade de derivadas parciais). Então em busca de , nós podemos supor que .
Passo 2
Inserindo isso na segunda equação temos
Essa equação é chamada de equação de Laplace. Supondo que , isso significa basicamente que a EDP se torna uma EDO linear, a equação se torna
O primeiro termo depende apenas de , o segundo de e o terceiro apenas de , então para que sua soma seja igual a zero, cada um tem que ser igual a uma constante. Podemos facilitar nossas vidas definindo , então nós temos que e . Portanto, uma (de muitas) solução para a equação 1 é e assim um exemplo de um campo vetorial com uma curva zero e divergência é igual a
Na verdade, se o rotacional de um campo vetorial definido em é zero, pode-se mostrar que é precisamente o gradiente de alguma função escalar. Portanto, as soluções da equação de Laplace geram todos os campos vetoriais com curvatura e divergência iguais a zero.