Enunciado

a) construa um tensor D μ v (análogo a F μ v ), a partir de D   e   H . Use-0 para expressar as equações de Maxwell dentro da matéria em termos da densidade de corrente livre J l μ .

b) construa o tensor dual H μ v a n á l o g o   a   G μ v .

c) Minkowski propôs as relações constitutivas relativísticas para um meio linear:

D μ v n v = e 2   F μ v n v       e       H μ v n v = 1 μ G μ v n v

Onde e é a permissividade própria. μ é a permeabilidade própria e n 2 é a quadrivelocidade do material. Mostre que as fórmulas de Minkowski, quando está em repouso.

d) calcule as fórmulas que relacionam D   e   H   a   E   e   B para um meio que se move com velocidade (ordinária) u .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro David J. Griffiths de Eletrodinâmica ele pede para determinar:

a) construa um tensor D μ v (análogo a F μ v ), a partir de D   e   H . Use-0 para expressar as equações de Maxwell dentro da matéria em termos da densidade de corrente livre J l μ .

b) construa o tensor dual H μ v a n á l o g o   a   G μ v .

c) Minkowski propôs as relações constitutivas relativísticas para um meio linear:

D μ v n v = e 2   F μ v n v       e       H μ v n v = 1 μ G μ v n v

Onde e é a permissividade própria. μ é a permeabilidade própria e n 2 é a quadrivelocidade do material. Mostre que as fórmulas de Minkowski, quando está em repouso.

d) calcule as fórmulas que relacionam D   e   H   a   E   e   B para um meio que se move com velocidade (ordinária) u .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

na letra (a) para construir um tensor D μ v , temos

D = e 0 E + P

H = 1 μ 0 B - M

Ficando,

D μ v = 0 c D z c D y c D z - c D x 0 H x - H y - c D y - H z 0 H x - c D z H y - H x 0

na letra (b) para construir o tensor dual de H μ v , vamos

H μ v = 0 H x H y H z H x 0 c D x c D y - H y c D x 0 - c D x - H x - c D y c D x 0

Na letra ( c ) temos para m μ = ( - c , 0,0 , 0 )

D μ 0 n 0 = c 2 e F μ 0 n 0 → D μ 0 = c 2   e   F μ 0 →   - c D = - c 2   e E c → D = e E

H μ 0 n 0 = 1 μ G μ 0 n 0 → H μ 0 = 1 μ G μ 0 →   - H = - 1 μ B → H = 1 μ B

E por fim na letra (d) no geral para n u = γ ( - c , μ ) temos,

H = γ 2 μ 1 - μ 2 v 2 B + 1 v 2 - 1 c 2 μ   x   E + B μ μ

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) D μ v = 0 c D z c D y c D z - c D x 0 H x - H y - c D y - H z 0 H x - c D z H y - H x 0

b) H μ v = 0 H x H y H z H x 0 c D x c D y - H y c D x 0 - c D x - H x - c D y c D x 0

c) D μ 0 n 0 = e E

H μ 0 n 0 = 1 μ B

d) H = γ 2 μ 1 - μ 2 v 2 B + 1 v 2 - 1 c 2 μ   x   E + B μ μ