Consulte o Problema 7.16, para o qual a resposta correta é

E ( s ,   t ) = μ 0 I 0 ω 2 π   s e n ( ω t )   I n   a s z ^

  1. Encontre a densidade de corrente de deslocamento J d .
  2. Integre-a para obter a corrente de deslocamento total,
  3.   I d = ∫   J d ∙   d a

  4. Compare I d   e   I . (Qual é a razão entre elas?) Se o cilindro externo tivesse, digamos, 2 mm de diâmetro, quão alta a frequência teria de ser para que I d   fosse 1 por cento de I ? [ Este problema foi planejado para mostrar por que Faraday nunca descobriu a correntes de deslocamento e por que normalmente é seguro ignorá-las, a menos que a frequência seja extremamente alta. ]

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Primeiramente temos que o campo elétrico obtido pelo problema 7.16, citado no enunciado é:

E ( s ,   t ) = μ 0 I 0 ω 2 π   s e n ( ω t )   I n   a s z ^

Assim podemos encontra a densidade de corrente, ou seja,

J d = ϵ 0 d d t E = ϵ 0 d d t μ 0 I 0 ω 2 π   s e n ω t I n   a s

J d = ϵ 0 μ 0 ω 2 2 π I 0 c o s ω t l n   a s z ^

Mas sabemos que I = I 0 c o s ω t , assim temos:

J d = ϵ 0 μ 0 ω 2 2 π I l n   a s z ^

Passo 2

Agora usando a resposta da letra A, podemos integrar J d para obter a corrente de deslocamento total:

I d = ∫   J d ∙   d a

I d = ∫   ϵ 0 μ 0 ω 2 2 π I l n   a s z ^ ∙   d a

I d = ϵ 0 μ 0 ω 2 2 π I ∫ 0 a l n   a s ( 2 π s d s )

Expandindo l n ( a / s )   e m   l n a - l n s , temos:

I d = ϵ 0 μ 0 ω 2 I ∫ 0 a ( s l n a - s l n s ) d s

Por último resolvendo a integral, temos:

I d = ϵ 0 μ 0 ω 2 I s 2 2 l n a - s 2 2 l n s + s 2 4 0 a

I d = ϵ 0 μ 0 ω 2 I a 2 2 l n a - a 2 2 l n a + a 2 4

I d = ϵ 0 μ 0 ω 2 I a 2 4

Passo 3

Agora temos que encontrar a razão entre I d I ,   ou seja:

I d I = ϵ 0 μ 0 ω 2 a 2 4

Onde ϵ 0 μ 0 = 1 / c 2 , assim temos:

I d I = ω 2 a 2 c 2 4 = ω a 2 c 2

Como a = 10 - 3 m , e que queremos que a razão seja 1/100, assim:

I d I = 1 100 = ω a 2 c 2

1 10 = ω a 2 c

isolando ω ,   temos que:

ω = 2 c 10 a = 3 × 10 8 m s 5 × 10 - 3 m = 6 × 10 10 / s

Como v = ω 2 π ,   temos que:

v = ω 2 π = 6 × 10 10 s * 2 π   ≈ 9.55 × 10 10 H z

Com essa frequência I d   seria 1 por cento de I .

Assim finalizamos mais uma! Até a próxima.

Resposta

  1. J d = ϵ 0 μ 0 ω 2 2 π I l n   a s z ^
  2. I d = ϵ 0 μ 0 ω 2 I a 2 4
  3. ϵ 0 μ 0 ω 2 a 2 4   e     9.55 × 10 10 H z