Uma corrente alternada I o c o s ( ω t ) (amplitude 0,5 A, frequência 60 Hz) flui por um fio reto que passa ao longo do eixo de uma bobina toroidal com corte transversal retangular (raio interno 1cm, raio externo 2cm, altura 1cm, 1.000 voltas). A bobina está ligada a um resistor de 500 Ω .

  1. Pela aproximação quase-estática, qual a f e m induzida no toroide? Encontre a corrente I r t no resistor.
  2. Calcule a força contra eletromotriz na bobina, devida à corrente I r t . Qual é a razão entre as amplitudes dessa força contra eletromotriz e a f e m 'direta' em (a)?

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Na letra A para começar vamos encontrar a f e m no toróide, inicialmente temos que o campo magnético com uma aproximação quase estática é dado como:

B = μ 0 I 2 π s ϕ ^

E o fluxo, podemos obter como:

Φ 1 = B ∙ d s = μ 0 I 2 π ∫ a b 1 s h d s = μ 0 I h 2 π l n b a

Substituindo a corrente dada no enunciado, temos que

Φ = μ 0 N h 2 π l n b a I o c o s ( ω t )

E como isso conseguimos obter f e m :

ε = - d Φ d t = - μ 0 N h 2 π l n b a I o d d t c o s ⁡ ( ω t )  

Então:

ε = μ 0 N h ω 2 π l n b a I o s e n ( ω t )

Agora substituindo os valores dados, temos que:

ε = 4 π × 10 - 7 2 π × 60 10 3 10 - 2 2 π l n 2 0.5 s e n ω t = 2.61 × 10 - 4 s e n ω t

Agora para encontrar I r t , temos que:

I r t = ε R = 2.61 × 10 - 4 s e n ω t 500 = 5.22 × 10 - 7 s e n ω t

Passo 2

Agora na letra B queremos que a força contra eletromotriz, podemos partir de:

ε 2 = - L d I r d t

Onde pela equação 7.27, temos que:

L = μ 0 N 2 h 2 π l n l n   b a  

Substituindo os valores dados no enunciado, temos que:

L = 4 π × 10 - 7 10 6 10 - 2 2 π l n l n   2   = 1.39 × 10 - 3 h

Sendo assim voltando na equação ε 2 ,   temos:

ε 2 = - 1.39 × 10 - 3 × 5.22 × 10 - 7 ( 2 π × 60 ) d d t s e n ω t

ε 2 = 2.74 × 10 - 7 c o s ⁡ ( ω t )

Passo 3

Por último vamos calcular a razão entre as amplitudes que vamos definir como sendo ς , assim :

ς = 2.74 × 10 - 7 2.6 1 × 10 - 4 = 1.05 × 10 - 3

E assim finalizamos mais uma! Até a próxima!!

Resposta

  1. ε = 2.61 × 10 - 4 s e n ω t   e   I r t = 5.22 × 10 - 7 s e n ω t
  2. ε 2 = 2.74 × 10 - 7 c o s ⁡ ( ω t ) e 1.05 × 10 - 3