Uma corrente I ( t ) flui em torno do anel circular da Figura 11.8. Deduza a fórmula geral para a potência radiada (análoga à Equação 11.60), expressando sua resposta em termos de momento de dipolo magnético ( m t ) da espira. [Resposta: P = μ 0 m ¨ 2 / 6 π c 3 ]

Passo 1

Vamos lá!

Aqui V = 0 (uma vez que o anel está neutro), e a corrente depende apenas de t (não da posição), de modo que o potencial vetorial retardado (Equação 11.52) é

A r ,   t = μ 0 4 π ∮ I ( t - r / c ) r d l '

mas neste caso não basta substituir r por r no denominador. que levaria a Equação 11.54, e, portanto, A = 0 (desde p = 0 ). Em vez disso, use a equação 11.30:

1 r ≅ 1 r 1 + b r sin ⁡ θ   c o s ϕ '

Entretanto,

d l ' = b   d ϕ ' ϕ ^ = b - sin ⁡ ϕ ' x ^ + cos ⁡ ϕ ' y ^ d ϕ '

I t - r / c ≅ I t - r / c + b / c sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ '

= I t 0 + b / c sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ ' ≅ I t 0 + I ˙ t 0 b c sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ '

(carregando todos os termos para primeira ordem em b). Como sempre, t 0 = t - r / c . (De agora em diante, suprimirei o argumento: I , I , etc. todos serão avaliados em t 0 ) então

A r ,   t = μ 0 4 π ∮ 1 r 1 + b r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ ' I + I ˙ b c sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ ' b - sin ⁡ ϕ ' x ^ + cos ⁡ ϕ ' y ^   d ϕ '

≅ μ 0 b 4 π r ∫ 0 2 π I + I ˙ b c sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ ' + I b r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ ' - sin ⁡ ϕ ' x ^ + cos ⁡ ϕ ' y ^   d ϕ '

Mas

∫ 0 2 π sin ⁡ ϕ ' d ϕ ' = ∫ 0 2 π cos ⁡ ϕ ' d ϕ ' = ∫ 0 2 π sin ⁡ ϕ ' cos ⁡ ϕ ' d ϕ ' = 0

Enquanto,

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ ϕ ' d ϕ ' = π

= μ 0 b 4 π r π y ^ I ˙ b c sin ⁡ θ + I b r sin ⁡ θ = μ 0 b 2 4 r 2 sin ⁡ θ I + r c I ˙ y ^

Passo 2

Em geral (ou seja, para pontos que não estão no plano x z ) y ^ → ϕ ^ ; além disso, na zona de radiação não estamos interessados em termos que vão como 1 / r 2 , então

A r ,   t = μ 0 b 2 4 c I ˙ t - r / c sin ⁡ θ r ϕ ^

E r ,   t = - ∂ A ∂ t = - μ 0 b 2 4 c I ¨ t - r c   sin ⁡ θ r ϕ ^  

B r ,   t = ∇ × A = 1 r sin ⁡ θ ∂ ∂ θ A ϕ sin ⁡ θ r ^ - 1 r ∂ ∂ r r A ϕ θ ^

= μ 0 b 2 4 c I ˙ r sin ⁡ θ 1 r 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ r ^ - 1 r I ¨ - 1 c sin ⁡ θ   θ ^ = μ 0 b 2 4 c 2 I ¨ sin ⁡ θ r θ ^

S = 1 μ 0 E × B = 1 μ 0 c μ 0 b 2 4 c I ¨ sin ⁡ θ r   2 - ϕ ^ × θ ^ = μ 0 16 c 3   b 2 I ¨ 2 sin ⁡ θ r 2 r ^    

P = ∫ S ∙ d a = μ 0 16 c 3 b 2 I ¨ 2   ∫ sin 2 ⁡ θ r 2 r 2 sin ⁡ θ d θ   d ϕ = μ 0 16 c 3 b 2 I ¨ 2 2 π 4 3 = μ 0 π 6 c 3 b 2 I ¨ 2    

= μ 0 m ¨ 2 6 π c 3

Observe que m = I π b 2 , então, m ¨ = I ¨ π b 2

Resposta

Ver Passo 1 e 2.