Enunciado

Dado um sistema linear com saída y ( t ) e resposta a um impulso h ( t ) , determine a entrada   x ( t )   correspondente para os seguintes casos:

  1. y t = t e - a t u t ,     h t = e - a t u t
  2. y t = u t + 1 - u ( t - 1 ) ,     h t = δ ( t )
  3. y t = e - a t u t ,     h t = s g n   ( t )

Passo 1

Legal pessoal, vamos lá! Em questões que usaremos Fourier sempre é interessante que você tenha a tabelinha de propriedades! A gente faz pois isso facilita muito o seu trabalho e ajuda a memorizar. Fechou? Então vamos pra cima!

Passo 2

Primeiro, temos que para o item a),

Y ω = 1 a + j ω 2 ,     H ω = 1 a + j ω

Jogando isso na formula da função de transferência:

X ω = Y ω H ( ω ) = 1 a + j ω → x t = e a t u ( t )

Passo 3

Para o item b), vamos apenas usar a definição para um impulso dentro de h ( t ) !

Por definição,

x t = y t = u t + 1 - u ( t - 1 )

Passo 4

Para o item c), vamos ter um pouco mais de atenção! Temos que:

Y ω = 1 ( a + j ω ) ,     H ω = 2 j ω

Portanto,

X ω = Y ω H ω = j ω 2 + a + j ω = 1 2 - a 2 a + j ω → x t = 1 2 δ t - a 2 e - a t u ( t )

Resposta

a ) x t = e a t u ( t )

b ) x t = u t + 1 - u ( t - 1 )

c ) x t = 1 2 δ t - a 2 e - a t u ( t )

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