Deduza a Equação 10.63. Mostre primeiro que

(del t_r)/(del t) = (r c)/(r * u)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O potencial vetorial de Liénard-Wiechart da carga em movimento é:

vec A = (mu_0)/(4 pi) (q c vec v)/(l c - vec l * vec v) = (mu_0)/(4 pi) (q c vec v)/(vec l * vec u)

Todas as grandezas avaliadas em tempo retardado. Queremos a derivada de tempo parcial disso, mas primeiro:

l = c (t - t_r)

l^2 = c^2 (t - t_r)^2

Agora sim, calculando a primeira derivada

2 vec l * (del vec l)/(del t) = 2 c^2 (t - t_r) (1 - (del t_r)/(del t))

Com isso, nós temos que

(del t_r)/(del t) = 1 - (hat l)/(c) * (del vec l)/(del t)

Passo 2

Vamos analisar as seguintes propriedades:

vec l = vec r - vec w (t_r)

E

(del vec l)/(del t) = - (del vec w)/(del t_r) (del t_r)/(del t) = - vec v (t_r) (del t_r)/(del t)

Com isso, nós temos que (del t_r)/(del t)

(del t_r)/(del t) = 1 + (hat l)/(c) * vec v (t_r) (del t_r)/(del t)

E portanto,

(del t_r)/(del t) = (c l)/(vec l * vec u)

Como nos foi pedido para provar.

Passo 3

Com isso podemos obter a derivada temporal parcial do potencial vetorial:

(del vec A)/(del t) = (mu_0 q c)/(4 pi) [(1)/(vec l * vec u) (del vec v)/(del t) - (vec v)/((vec l * vec u)^2) (del)/(del t) (vec l * vec u)]

Desenvolvendo os termos, nós temos que

(del vec A)/(del t) = (mu_0 q c)/(4 pi) (1)/((vec l * vec u)^3) [l c vec a (vec l * vec u) + vec v (c l (c^2 - v^2 + vec l * vec a) + c^2 (vec l * vec u))]

E a identidade foi provada!

Resposta

(del vec A)/(del t) = (mu_0 q c)/(4 pi) (1)/((vec l * vec u)^3) [l c vec a (vec l * vec u) + vec v (c l (c^2 - v^2 + vec l * vec a) + c^2 (vec l * vec u))]