a) Deduza as Equações 9.179 e, a partir delas, obtenha as Equações 9.180.

b) Coloque a Equação 9.180 nas equações Maxwell (i) e (ii) para obter a Equação 9.181. Verifique que você obtém os mesmos resultados usando (i) e (iv) da Equação 9.179.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começando com a 3ª e 4ª equações de Maxwell e use as fórmulas para os campos elétrico e magnético:

E → = E 0 → x , y e i k z - ω t   e   B → = B 0 → x , y e i k z - ω t

E 0 → = E x x ^ + E y y ^ + E z z ^     e   B 0 → = B x x ^ + B y y ^ + B z z ^

Da 3ª equação de Maxwell, por componentes:

∇ × E → = - ∂ B → ∂ t

Analisando os componentes dessa equação

∂ E z ∂ y - ∂ E y ∂ z = - ∂ B x ∂ t

Com isso, nós temos que

∂ E z ∂ y - E y i k = i ω B x     ( 1 )

E para o componente ∂ E z ∂ x

E x i k - ∂ E z ∂ x = i ω B y     ( 2 )

E

∂ E y ∂ x - ∂ E x ∂ y = i ω B z     ( 3 )

Passo 2

Da 4ª equação de Maxwell, pelas componentes, como no passo anterior:

∇ × B → = 1 c 2 ∂ E → ∂ t

E seus componentes

∂ B z ∂ y - i k B y = - i ω c 2 E x     ( 4 )

i k B x - ∂ B z ∂ x = - i ω c 2 E y     ( 5 )

∂ B y ∂ x - ∂ B x ∂ y = - i ω c 2 E z     ( 6 )

Com isso as equações 9.179 foram reproduzidas de (1) a (6).

Passo 3

Agora de (4) vamos expressar B y e colocar isso em (2), obtendo E x :

B y = 1 i k ∂ B z ∂ y + i ω c 2 E x → 2

Com isso, nós temos que

E x i k - ∂ E z ∂ x = i ω 1 i k ∂ B z ∂ y + i ω c 2 E x

Desenvolvendo os termos, nós temos que

E x i k - i k ω 2 c 2 = ω k ∂ B z ∂ y + ∂ E z ∂ x

Um pouco mais...

E x i k k 2 - ω 2 c 2 = ω k ∂ B z ∂ y + ∂ E z ∂ x

Logo, nós obtemos o seguinte resultado:

E x = i ω c 2 - k 2 ω ∂ B z ∂ y + k ∂ E z ∂ x

Agora, vamos expressar (5) de B z e colocar na equação (1) para conseguir E y :

B x = - ω c 2 1 k E y - i k ∂ B z ∂ x → ( 1 )

Resposta

Resposta nos passos