Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Eletrodinâmica - David J. Griffiths- Ed: 3º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 23

Deduza as três regras para quocientes.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos para a primeira regra (i),

grad ((f)/(g)) = del_x (f)/(g) hat x + del_y (f)/(g) hat y + del_z (f)/(g) hat z

Vamos expandir todos os termos, então, com isso, temos três quocientes

grad ((f)/(g)) = (g del_x f - f del_x g)/(g^2) hat x + (g del_y f - f del_y g)/(g^2) hat y + (g del_z f - f del_z g)/(g^2) hat z

Desenvolvendo os termos, obtemos o seguinte resultado

grad ((f)/(g)) = (g (del_x f hat x + del_y f hat y + del_z f hat z) - f (del_x g hat x + del_y g hat y + del_z g hat z))/(g^2)

O que foi feito aqui foi aglutinar os termos e colocar em evidência os termos f e g , vamos relembrar que

grad f = (del_x f hat x + del_y f hat y + del_z f hat z)

E

grad g = (del_x g hat x + del_y g hat y + del_z g hat z)

Logo, nós temos que

grad ((f)/(g)) = (g grad f - f grad g)/(g^2)

Onde del_x = (del)/(del x) , que é a derivada parcial com respeito a x , e feito de forma similar para as outras variáveis.

Passo 2

Para a propriedade (ii) do quociente

grad * ((vec A)/(g)) = del_x (A_x)/(g) + del_y (A_y)/(g) + del_z (A_z)/(g)

Expandindo os termos,

grad * ((vec A)/(g)) = (g del_x A_x - A_x del_x g)/(g^2) + (g del_y A_y - A_y del_y g)/(g^2) + (g del_z A_z - A_z del_z g)/(g^2)

Então, vamos isolar o divergente e o grad g , nós temos que

(grad * vec A) = del_x A_x + del_y A_y + del_z A_z

E

grad g = (del_x g hat x + del_y g hat y + del_z g hat z)

Com isso, nós temos que

grad * ((vec A)/(g)) = (g (del_x A_x + del_y A_y + del_z A_z) - (A_x del_x g + A_y del_y g + A_z del_z g))/(g^2)

Portanto, nós temos que

grad * ((vec A)/(g)) = (g grad * vec A - vec A * grad g)/(g^2) :.

Passo 3

Vamos apenas provar para a componente x da identidade. Todos os outros componentes seguirão derivações semelhantes:

[grad xx (vec A)/(g)]_x = del_y (A_z)/(g) - del_z (A_y)/(g)

Expandindo os termos, nós temos que

[grad xx (vec A)/(g)]_x = (g del_y A_z - A_z del_y g)/(g^2) - (g del_z A_y - A_y del_z g)/(g^2)

Manipulando um pouco as coisas, obtemos que

[grad xx (vec A)/(g)]_x = (g (del_y A_z - del_z A_y) + [vec A xx grad g]_x)/(g^2) = [(g grad xx vec A + vec A xx grad g)/(g^2)]_x

Portanto,

grad xx (vec A)/(g) = (g grad xx vec A + vec A xx grad g)/(g^2)

Resposta

i ) grad ((f)/(g)) = (g grad f - f grad g)/(g^2)

i i ) grad * ((vec A)/(g)) = (g grad * vec A - vec A * grad g)/(g^2)

i i i ) grad xx (vec A)/(g) = (g grad xx vec A + vec A xx grad g)/(g^2)