Defina a aceleração própria de maneira obvia:

α μ = d η μ d τ = d 2 x μ d τ 2

  1. Encontre α 0 e α em termos de u e a (a aceleração ordinária)
  2. Expresse α μ α μ em termo de u e a
  3. Mostre que η μ α μ = 0
  4. Escreva a versão de Minkowski para a segunda lei de Newton, Equação 12.69, em termos de α μ . Calcule o produto invariante k μ η μ

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a)

α 0 = d η 0 d τ = d η 0 d t     d t d τ

Sabemos que d t d τ = 1 1 - u 2 c 2 e η 0 será na posição inicial, ou seja, com velocidade c, então η 0 = c 1 - u 2 c 2

Logo:

α 0 = d η 0 d τ = d η 0 d t     d t d τ = d d t c 1 - u 2 c 2 1 1 - u 2 c 2

α 0 = c 1 - u 2 c 2   - 1 2 - 1 c 2 2 u ∙ a 1 - u 2 c 2 3 2 = 1 c   u ∙ a 1 - u 2 c 2 2

Já para α : (agora com velocidade u)

α = d η d τ = d η d t   d t d τ =   1 1 - u 2 c 2     d d t u 1 - u 2 c 2  

α = 1 1 - u 2 c 2   { a 1 - u 2 c 2 +       u - 1 2 - 1 c 2 2 u ∙ a 1 - u 2 c 2 3 2

α = 1 1 - u 2 c 2     a + u u ∙ a c 2 - u 2

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para b)

α μ α μ = - α 0 2 + α ∙ α

Já obtemos α e α 0 antes

Assim:

α μ α μ = - 1 c 2   u ∙ a 1 - u 2 c 2 4 + 1 1 - u 2 c 2 4     a 1 - u 2 c 2 + u c 2 u ∙ a 2

Rearranjando, obtemos ao final:

α μ α μ = 1 1 - u 2 c 2 4 a 2 + u ∙ a 2 c 2 - u 2

Usando que c 2 - u 2 = c 2 1 - u 2 c 2

Passo 3

Para c)

Sabemos que:

η μ η μ = - c

De forma que:

d d τ η μ η μ = 0

Pois c é uma constante, ou ainda:

d d τ η μ η μ = α μ η μ + η μ α μ = 2 α μ   η μ = 0 → α μ η μ = 0  

Para d)

K μ = d p μ d τ

Onde p = c

K μ = d m η μ d τ = m α μ

Multiplique por η μ de ambos os lados

K μ   η μ = m α μ η μ

Mas provamos no item c que α μ η μ = 0

∴ K μ   η μ = m α μ η μ = 0

Resposta

Para a)

α 0 = 1 c   u ∙ a 1 - u 2 c 2 2

Para b)

α = 1 1 - u 2 c 2     a + u u ∙ a c 2 - u 2