Demonstre a regra B A C - C A B escrevendo ambos os lados na forma das componentes.

Passo 1

Faaaala meu povo!! Como vocês estão? Bora lá resolver mais uma questãozinha?

A primeira coisa que faremos é escrever o produto entre 3 vetores (Ex.: A ,   B   e   C ) como um novo vetor A × ( B × C ) na forma de determinantes.

A × B × C = x ^ y ^ z ^ A x A y A z ( B y C z - B z C y ) ( B x C z - B z C x ) ( B x C y - B y C x )

Passo 2

Agora encontraremos o determinante:

A × B × C = x ^ A y B x C y - B y C x - A z B z C x - B x C z + y ^   + z ^  

Obs.: Faremos a checagem apenas no componente X. Os outros componentes irão seguir na mesma forma.

Continuando o desenvolvimento, aplicaremos as distributivas:

A × B × C = x ^ A y B z C y - A y B y C x - A z B z C x + A z B x C z + y ^   + z ^  

Passo 3

Agora utilizaremos a regra:

B × A × C - C × A × B = B x A x C x + A y C y + A z C z - C x A x B x + A y B y + A z B z x ^ + y ^   + z ^  

Obs.: Da mesma forma, faremos a checagem apenas no componente X. Os outros componentes irão seguir na mesma forma.

Continuando o desenvolvimento, aplicaremos as distributivas e reduziremos os termos em comum, obtendo:

B × A × C - C × A × B = x ^ A y B z C y - A y B y C x - A z B z C x + A z B x C z + y ^   + z ^  

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

Ambos os métodos de multiplicação obtêm o mesmo resultado:

x ^ A y B z C y - A y B y C x - A z B z C x + A z B x C z + y ^   + z ^   , comprovando a regra.