Demonstre as regras de produtos (ii) e (vi). Consulte o Problema 1.21 para a definição de .
Passo 1
Fala, galera! Bom, o livro disse que essa era só para masoquistas. Mas não se preocupe porque você veio ao lugar certo. Vamos resolver essa juntos e você vai ver que não vai ser tão dolorido assim. Vem comigo!
Vamos começar com a definição de , que a gente conseguiu no item a) da 1.21:
Belezinha, essa relação vai ser útil para provar as regras (ii) e (vi)
Passo 2
Basicamente, temos que mostrar que
Para conseguir fazer isso, vamos notar que cada um desses termos é um vetor. Então, fica mais fácil calcular primeiro as equações só na direção , concorda?
Temos
Passo 3
Agora, vamos somar todos os termos no lado direito de
e mostrar que obtemos o lado esquerdo. Vamos lá!
Belezinha, pessoal. Conseguimos mostrar para a direção . Nas direções , o raciocínio é exatamente o mesmo. Então, podemos concluir que
Passo 4
Agora a gente vai provar a relação (vi):
Aqui, nós também vamos pegar a expressão na direção e mostrar que o lado direito é igual ao lado esquerdo. Bora lá!
No lado esquerdo da equação, temos:
Passo 5
Agora, vamos os termos no lado direito
Vamos somar todos esses termos
Prontinho, mostramos para a direção e o raciocínio é exatamente o mesmo para . Então, é isso pessoal. Missão dada, missão cumprida!
Resposta
Veja a resolução acima.