Demonstre as regras de produtos (ii) e (vi). Consulte o Problema 1.21 para a definição de ( A → ⋅ ∇ ) B → .

Passo 1

Fala, galera! Bom, o livro disse que essa era só para masoquistas. Mas não se preocupe porque você veio ao lugar certo. Vamos resolver essa juntos e você vai ver que não vai ser tão dolorido assim. Vem comigo!

Vamos começar com a definição de ( A → ⋅ ∇ ) B → , que a gente conseguiu no item a) da 1.21:

( A → ⋅ ∇ ) B → = A x ∂ B x ∂ x + A y ∂ B x ∂ y + A z ∂ B x ∂ z x ^ + A x ∂ B y ∂ x + A y ∂ B y ∂ y + A z ∂ B y ∂ z y ^ + A x ∂ B z ∂ x + A y ∂ B z ∂ y + A z ∂ B z ∂ z z ^

Belezinha, essa relação vai ser útil para provar as regras (ii) e (vi)

Passo 2

Basicamente, temos que mostrar que

∇ ( A → ⋅ B → ) = A → × ( ∇ × B → ) + B → × ( ∇ × A → ) + ( A → ⋅ ∇ ) B → + ( B → ⋅ ∇ ) A →

Para conseguir fazer isso, vamos notar que cada um desses termos é um vetor. Então, fica mais fácil calcular primeiro as equações só na direção x ^ , concorda?

Temos

∇ ( A → ⋅ B → ) x = ∂ x ( A → ⋅ B → ) = ∂ ∂ x ( A x B x + A y B y + A z B z )

⇒ ∇ ( A → ⋅ B → ) x = ∂ A x ∂ x B x + ∂ A y ∂ x B y + ∂ A z ∂ x B z + A x ∂ B x ∂ x + A y ∂ B y ∂ x + A z ∂ B z ∂ x

A → × ( ∇ × B → ) x = A y ( ∇ × B → ) z - A z ( ∇ × B → ) y = A y ∂ B y ∂ x - ∂ B x ∂ y - A z ∂ B x ∂ z - ∂ B z ∂ x

B → × ( ∇ × A → ) x = B y ( ∇ × A → ) z - B z ( ∇ × A → ) y = B y ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y - B z ∂ A x ∂ z - ∂ A z ∂ x

[ ( A → ⋅ ∇ ) B → ] x = A x ∂ B x ∂ x + A y ∂ B x ∂ y + A z ∂ B x ∂ z

[ ( B → ⋅ ∇ ) A ] → x = B x ∂ A x ∂ x + B y ∂ A x ∂ y + B z ∂ A x ∂ z

Passo 3

Agora, vamos somar todos os termos no lado direito de

∇ ( A → ⋅ B → ) = A → × ( ∇ × B → ) + B → × ( ∇ × A → ) + ( A → ⋅ ∇ ) B → + ( B → ⋅ ∇ ) A →

e mostrar que obtemos o lado esquerdo. Vamos lá!

A → × ( ∇ × B → ) x + B → × ( ∇ × A → ) x + ( A → ⋅ ∇ ) B → x + ( B → ⋅ ∇ ) A → x

= A y ∂ B y ∂ x - ∂ B x ∂ y - A z ∂ B x ∂ z - ∂ B z ∂ x + B y ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y - B z ∂ A x ∂ z - ∂ A z ∂ x

+ A x ∂ B x ∂ x + A y ∂ B x ∂ y + A z ∂ B x ∂ z + B x ∂ A x ∂ x + B y ∂ A x ∂ y + B z ∂ A x ∂ z

= A y ∂ B y ∂ x + A z ∂ B z ∂ x + B y ∂ A y ∂ x + B z ∂ A z ∂ x + A x ∂ B x ∂ x + B x ∂ A x ∂ x

= ∂ A x ∂ x B x + ∂ A y ∂ x B y + ∂ A z ∂ x B z + A x ∂ B x ∂ x + A y ∂ B y ∂ x + A z ∂ B z ∂ x = ∇ ( A → ⋅ B → ) x

Belezinha, pessoal. Conseguimos mostrar para a direção x ^ . Nas direções y ^ , z ^ , o raciocínio é exatamente o mesmo. Então, podemos concluir que

∇ ( A → ⋅ B → ) = A → × ( ∇ × B → ) + B → × ( ∇ × A → ) + ( A → ⋅ ∇ ) B → + ( B → ⋅ ∇ ) A →

Passo 4

Agora a gente vai provar a relação (vi):

∇ × ( A → × B → ) = ( B → ⋅ ∇ ) A → - ( A → ⋅ ∇ ) B → + A → ( ∇ ⋅ B → ) - B → ( ∇ ⋅ A → )

Aqui, nós também vamos pegar a expressão na direção x ^ e mostrar que o lado direito é igual ao lado esquerdo. Bora lá!

No lado esquerdo da equação, temos:

∇ × ( A → × B → ) x = ∂ ∂ y ( A → × B → ) z - ∂ ∂ z ( A → × B → ) y = ∂ ∂ y ( A x B y - A y B x ) - ∂ ∂ z ( A z B x - A x B z )

∇ × ( A → × B → ) x = ∂ A x ∂ y B y + ∂ B y ∂ y A x - ∂ A y ∂ y B x - ∂ B x ∂ y A y - ∂ A z ∂ z B x - ∂ B x ∂ z A z + ∂ A x ∂ z B z + ∂ B z ∂ z A x

Passo 5

Agora, vamos os termos no lado direito

( B → ⋅ ∇ ) A → x = ( B x ∂ ∂ x + B y ∂ ∂ y + B z ∂ ∂ z ) A x = B x ∂ A x ∂ x + B y ∂ A x ∂ y + B z ∂ A x ∂ z

( A → ⋅ ∇ ) B → x = A x ∂ B x ∂ x + A y ∂ B x ∂ y + A z ∂ B x ∂ z

A → ( ∇ ⋅ B → ) x = A x ( ∂ B x ∂ x + ∂ B y ∂ y + ∂ B z ∂ z )

B → ( ∇ ⋅ A → ) x = B x ( ∂ A x ∂ x + ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z )

Vamos somar todos esses termos

( B → ⋅ ∇ ) A → x - ( A → ⋅ ∇ ) B → x + A → ( ∇ ⋅ B → ) x - B → ( ∇ ⋅ A → ) x =

B x ∂ A x ∂ x + B y ∂ A x ∂ y + B z ∂ A x ∂ z - A x ∂ B x ∂ x - A y ∂ B x ∂ y - A z ∂ B x ∂ z + A x ( ∂ B x ∂ x + ∂ B y ∂ y + ∂ B z ∂ z ) - B x ( ∂ A x ∂ x + ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z )

B y ∂ A x ∂ y + B z ∂ A x ∂ z - A y ∂ B x ∂ y - A z ∂ B x ∂ z + A x ( ∂ B y ∂ y + ∂ B z ∂ z ) - B x ( ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z )

= ∂ A x ∂ y B y + ∂ B y ∂ y A x - ∂ A y ∂ y B x - ∂ B x ∂ y A y - ∂ A z ∂ z B x - ∂ B x ∂ z A z + ∂ A x ∂ z B z + ∂ B z ∂ z A x = ∇ × ( A → × B → ) x

Prontinho, mostramos para a direção x ^ e o raciocínio é exatamente o mesmo para y ^ , z ^ . Então, é isso pessoal. Missão dada, missão cumprida!

Resposta

Veja a resolução acima.