Demonstre as regras de produtos (i),(iv) e (v).
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Vamos começar com a propriedade (iv)
Antes de prosseguirmos, deve-se notar que
Onde e são vetores arbitrários, com , denota o k-ésimo componente do produto vetorial e é o símbolo de Levi-Civita. A divergência de um vetor arbitrário , pode ser escrito da seguinte forma
Ok, vamos começar com o LHS da regra do produto (iv) (somente o k-ésimo componente)
Expandindo os termos do produto
Podemos trocar os índices i e j, pois são variáveis que não tem significado. Para permutações ímpares, o símbolo Levi-Civita muda de sinal
Em seguida, somamos toda a expressão sobre k e observamos o seguinte
Desenvolvendo os termos, nós temos que
Novamente, usando as propriedades do símbolo de Levi-Civita , nós temos que
Portanto, nós temos que
Passo 2
Na regra (i), temos que
Onde f e g são funções de x, y e z.
Onde significa i-ésima coordenada, e com isso, podemos dizer . Da mesma forma para os vetores, . Começamos tomando a derivada parcial em relação a
Então, multiplicamos por e somamos sobre o índice i
E com isso, nós temos que
Passo 3
Vamos para a regra do produto (v)
Novamente, usando a mesma ideia, consideramos o k-ésimo componente
trocando índices no RHS, multiplicando por e somando sobre
Observe que o produto vetorial de dois vetores é dado por
Com isso, nós temos que
Resposta
Respondido acima!