Demonstre as regras de produtos (i),(iv) e (v).

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos começar com a propriedade (iv)

grad * (vec A xx vec B) = vec B * (grad xx vec A) - vec A * (grad xx vec B) (?)

Antes de prosseguirmos, deve-se notar que

(vec a xx vec b)_k = underset(i j)(sum) ϵ_i j k a_i b_j ; i = 1,2 , 3 ; j = 1,2 , 3

Onde vec a e vec b são vetores arbitrários, com (k = 1,2 , 3) , denota o k-ésimo componente do produto vetorial e ϵ_i j k é o símbolo de Levi-Civita. A divergência de um vetor arbitrário vec A , pode ser escrito da seguinte forma

grad * vec A = sum_i^3 (del A_i)/(del x_i)

Ok, vamos começar com o LHS da regra do produto (iv) (somente o k-ésimo componente)

(del)/(del x_k) (vec A xx vec B)_k = underset(i j)(sum) (del)/(del x_k) (A_i B_j)

Expandindo os termos do produto

(del)/(del x_k) (vec A xx vec B)_k = underset(i j)(sum) ϵ_i j k B_j (del A_i)/(del x_k) + underset(i j)(sum) ϵ_i j k A_i (del B_j)/(del x_k)

Podemos trocar os índices i e j, pois são variáveis ​​que não tem significado. Para permutações ímpares, o símbolo Levi-Civita muda de sinal ϵ_i j k = - ϵ_i j k

(del)/(del x_k) (vec A xx vec B)_k = underset(i j)(sum) ϵ_i j k B_j (del A_i)/(del x_k) - underset(i j)(sum) ϵ_i j k A_j (del B_i)/(del x_k)

Em seguida, somamos toda a expressão sobre k e observamos o seguinte

(grad xx vec A)_k = underset(i j)(sum) ϵ_i j k (del A_j)/(del x_i)

Desenvolvendo os termos, nós temos que

sum_(k = 1)^3 (del)/(del x_k) (vec A xx vec B)_k = underset(i j)(sum) ϵ_i j k B_j (del A_i)/(del x_k) - underset(i j)(sum) ϵ_i j k A_j (del B_i)/(del x_k)

Novamente, usando as propriedades do símbolo de Levi-Civita ϵ_i j k = ϵ_k i j , nós temos que

grad * (vec A xx vec B) = underset(j)(sum) B_j (grad xx vec A)_j - underset(j)(sum) A_j (grad xx vec B)_j

Portanto, nós temos que

grad * (vec A xx vec B) = vec B * (grad xx vec A) - vec A * (grad xx vec B) :.

Passo 2

Na regra (i), temos que

grad (f g) = f grad g + g grad f (?)

Onde f e g são funções de x, y e z.

grad f = sum_(i = 1)^3 hat x_i (del f)/(del x_i)

Onde x_i significa i-ésima coordenada, e com isso, podemos dizer x_2 = y . Da mesma forma para os vetores, hat z = hat x_3 . Começamos tomando a derivada parcial em relação a x_i

(del)/(del x_i) (f g) = f (del g)/(del x_i) + g (del f)/(del x_i)

Então, multiplicamos por hat x_i e somamos sobre o índice i

sum_(i = 1)^3 hat x_i (del)/(del x_i) (f g) = f sum_(i = 1)^3 hat x_i (del g)/(del x_i) + g sum_(i = 1)^3 hat x_i (del f)/(del x_i)

E com isso, nós temos que

grad (f g) = f grad g + g grad f :.

Passo 3

Vamos para a regra do produto (v)

grad xx (f vec A) = f grad xx vec A - vec A * grad f

Novamente, usando a mesma ideia, consideramos o k-ésimo componente

(grad xx (f vec A))_k = underset(i j)(sum) ϵ_i j k (del)/(del x_i) (f A_j) = underset(i j)(sum) ϵ_i j k (del f)/(del x_i) (A_j) + f underset(i j)(sum) ϵ_i j k (del A_j)/(del x_i)

trocando índices no RHS, multiplicando por hat x_k e somando sobre k

underset(k)(sum) hat x_k (grad xx (f vec A))_k = f underset(i j)(sum) ϵ_i j k (del A_j)/(del x_i) hat x_k - underset(i j k)(sum) ϵ_i j k A_j (del f)/(del x_i) hat x_k

Observe que o produto vetorial de dois vetores é dado por

(vec a xx vec b) = underset(i j k)(sum) ϵ_i j k a_i b_j hat x_k

Com isso, nós temos que

grad xx (f vec A) = f grad xx vec A - vec A xx grad f

Resposta

Respondido acima!