A densidade de carga

σ ϕ = a s e n   5 ϕ

(na qual a é uma constante) está colada sobre a superfície de um cilindro de raio R (Figura 3.25). Encontre o potencial dentro e fora do cilindro. [Use o seu resultado do Problema 3.23.]

Passo 1

Faala, pessoa! Bora pra mais uma. A expressão para o potencial na parte de dentro do cilindro é dada por:

V s ,   ϕ = a 0 + ∑ k = 1 ∞ s k a k cos ⁡ k ϕ + b k sin ⁡ k ϕ

Para s = 0 → ln ⁡ s e s - k divergem.

Pra a parte de dentro fora do cilindro:

V s ,   ϕ =   a - 0 + ∑ k = 1 ∞ s k c k cos ⁡ k ϕ + d k sin ⁡ k ϕ  

Para s → ∞ , ln ⁡ s e s k divergem.

A densidade de carga vai ser dada pela seguinte expressão:

σ = - ϵ 0 ∂ V f o r a ∂ S   - ∂ V d e n t r o ∂ S s = R

Substituindo a densidade pela expressão dada no enunciado e fazendo as derivadas parciais, teremos:

a s e n   5 ϕ = - ϵ 0   ∑ k = 1 ∞ - k R k + 1 c k cos ⁡ k ϕ + d k   s e n   k ϕ - k R k - 1 a k cos ⁡ k ϕ + b k   s e n   k ϕ  

Passo 2

Analisando a equação obtida anteriormente vemos que a equação só será satisfeita para k = 5 para o qual ficaremos com a seguinte expressão:

a s e n   5 ϕ = 5 ϵ 0 1 R 6 d 5 + R 4 b 5 s e n   5 ϕ

Dividindo os dois lados por s e n   5 ϕ :

a = 5 ϵ 0 1 R 6 d 5 + R 4 b 5

Além disso, V é continua em s = R e como d 5 e b 5 serão constantes, nesse caso escolheremos valores convenientes que satisfaçam a seguinte relação:

R 5 b 5 = d 5 R 5

Ou:

d 5 = b 5 R 10

E portanto, teremos:

a 0 + R 5 b 5 s e n   5 ϕ = a - 0 + 1 R 5 d 5 s e n   5 ϕ

E devido ao valor escolhido anteriormente:

R 5 b 5 = d 5 R 5

Teremos que a 0 = a - 0 serão iguais a 0 e com isso, combinando as condições estabelecidas anteriormente:

a = 5 ϵ 0 R 4 b 5 + R 4 b 5  

a = 10 ϵ 0 R 4 b 5

Com isso:

b 5 = a 10 ϵ 0 R 4

d 5 = b 5 R 10 = a R 6 10 ϵ 0  

Portanto, o potencial dentro e fora do cilindro será dado pelas seguintes expressões:

V s ,   ϕ = s 5 b 5 s e n   5 ϕ = a s 5 10 ϵ 0 R 4   s e n   5 ϕ                 p a r a   s < R  

E

V s ,   ϕ = d 5 s 5   s e n   5 ϕ = a R 6 10 ϵ 0 s 5   s e n   5 ϕ               p a r a   s > R

Resposta

V s ,   ϕ = s 5 b 5 s e n   5 ϕ = a s 5 10 ϵ 0 R 4   s e n   5 ϕ                 p a r a   s < R

V s ,   ϕ = d 5 s 5   s e n   5 ϕ = a R 6 10 ϵ 0 s 5   s e n   5 ϕ               p a r a   s > R