Em um determinado sistema inercial S , o campo elettrico E e o campo magnético B não são nem paralelos nem perpendiculares em um certo ponto no espaço- tempo. Mostre que em um sistema incercial diferente S - , movendo-se relativamente a S com velocidade v dada por:

v 1 + v 2 c 2 = E × B B 2 + E 2 c 2

Onde os campos E - e B - são paralelos nesse ponto. Existe um sistema no qual pos dois são perpendiculares?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Escolhamos eixos de forma que E aponte na direção z e B no plano yz, tal que:

E = 0,0 , E z

B = 0 , B y ,   B z

Agora as relações da equação 12.108

E x - = E x

E y - = γ E y - v B z

E z - = γ E z - v B y

E:

B x - = B y

B y - = γ B y + v c 2   E z

B z - = γ B z - v c 2 E y

Assim:

E - = 0 ,     - γ v B sin ⁡ θ ,     γ E + v B cos ⁡ θ

B - = 0 ,     γ B cos ⁡ θ + v c 2   E ,     γ B sin ⁡ θ

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Se é paralelismo, então:

E y - B y - = E z - B z -

Assim:

- γ v B sin ⁡ θ γ B cos ⁡ θ + v c 2   E = γ E + v B cos ⁡ θ γ B sin ⁡ θ

- v B 2 sin 2 ⁡ θ   = E + v B cos ⁡ θ B cos ⁡ θ + v c 2   E

- v B 2 sin 2 ⁡ θ   = E B cos ⁡ θ + v B 2 cos 2 ⁡ θ + v c 2   E 2 + v 2 c 2   E B cos ⁡ θ

0 = v B 2 + v c 2 E 2 + E B cos ⁡ θ 1 + v 2 c 2

0 = v B 2 + E 2 c 2 + E B cos ⁡ θ 1 + v 2 c 2  

v 1 + v 2 c 2 =   - E B cos ⁡ θ B 2 + E 2 c 2  

Passo 3

Agora veja que:

E × B = x - y - z - 0 0 E 0 B cos ⁡ θ B sin ⁡ θ = - E B cos ⁡ θ

Assim:

∴ v 1 + v 2 c 2 = E × B B 2 + E 2 c 2         c . q . d

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)