Determine v(t) para o circuito na Figura 13.112 .

Passo 1

Primeiramente, vamos transformar os elementos do circuito que estão no domínio do tempo para o domínio da frequência:

4 s e n 3 t →     4 ∠ 0 °   V ,     ω = 3   r a d / s

1 3 F   →   1 j ω C = 1 j 3 1 3 = - j   Ω

Aplicando a lei das malhas na malha da esquerda:

4 = I 1 + 2 I 1 - I 2 + V 1

3 I 1 - 2 I 2 + V 1 = 4 … 1

Aplicando a lei das malhas na malha do meio:

- V 1 + 2 I 2 - I 1 - j I 2 + V 2 = 0

- 2 I 1 + 2 - j I 2 - V 1 + V 2 = 0 … ( 2 )

Similarmente, aplicando a lei das malhas na malha da direita:

- V 2 + 5 I 3 = 0

5 I 3 - V 2 = 0 … 3

Nos terminais do transformador, temos:

V 2 V 1 = 4   →     4 V 1 - V 2 = 0 … 4

I 1 - I 2 I 2 - I 3 = - 4   →     I 1 + 3 I 2 - 4 I 3 = 0 … ( 5 )

Passo 2

Aqui, caímos num sistema de equações, com cinco equações e cinco incógnitas:

3 I 1 - 2 I 2 + V 1 = 4 - 2 I 1 + 2 - j I 2 - V 1 + V 2 = 0 5 I 3 - V 2 = 0 4 V 1 - V 2 = 0 I 1 + 3 I 2 - 4 I 3 = 0

Escrevendo de modo matricial:

3 - 2 0 1 0 - 2 2 - j 0 - 1 1 0 0 5 0 - 1 0 0 0 4 - 1 1 3 - 4 0 0 ⋅ I 1 I 2 I 3 V 1 V 2 = 4 0 0 0 0   → A X = [ b ]

Uma maneira de encontrarmos os valores para as incógnitas é usar a regra de Cramer! Primeiro de tudo, precisamos achar o determinante da matriz:

det ⁡ A = 3 - 2 0 1 0 - 2 2 - j 0 - 1 1 0 0 5 0 - 1 0 0 0 4 - 1 1 3 - 4 0 0

det ⁡ A = - 237 + j 53

Agora, vamos calcular os determinantes substituindo o vetor [ b ] nas colunas de cada variável. Assim, para I 1 :

d e t ⁡ ( A I 1 ) = 4 - 2 0 1 0 0 2 - j 0 - 1 1 0 0 5 0 - 1 0 0 0 4 - 1 0 3 - 4 0 0

det ⁡ A I 1 = - 308 + j 64

Para I 2 :

det ⁡ A I 2 = 3 4 0 1 0 - 2 0 0 - 1 1 0 0 5 0 - 1 0 0 0 4 - 1 1 0 - 4 0 0

det ⁡ A I 2 = - 68

Para I 3 :

d e t A I 3 = 3 - 2 4 1 0 - 2 2 - j 0 - 1 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 4 - 1 1 3 0 0 0

det ⁡ ( A I 3 ) = - 128 + j 16

Para V 1 :

det ⁡ ( A V 1 ) = 3 - 2 0 4 0 - 2 2 - j 0 0 1 0 0 5 0 - 1 0 0 0 0 - 1 1 3 - 4 0 0

det ⁡ ( A V 1 ) = - 160 + j 20

Para V 2 :

det ⁡ A V 2 = 3 - 2 0 1 4 - 2 2 - j 0 - 1 0 0 0 5 0 0 0 0 0 4 0 1 3 - 4 0 0

det ⁡ A V 2 = - 640 + j 80

Passo 3

Para encontrarmos os valores de cada uma das variáveis, precisamos dividir o determinante de cada uma pelo determinante da matriz A . Logo,

I 1 = det ⁡ A I 1 det ⁡ A = - 308 + j 64 - 237 + j 53 = 1,29 + j 0 , 02   A

I 2 = det ⁡ A I 2 det ⁡ A = - 68 - 237 + j 53 = 0,27 + j 0,06   A

I 3 = det ⁡ A I 3 det ⁡ A = - 128 + j 16 - 237 + j 53 = 0,53 + j 0,05   A

V 1 = det ⁡ A V 1 det ⁡ A = - 160 + j 20 - 237 + j 53 = 0,66 + j 0,06   V

V 2 = d e t A V 2 det ⁡ A = - 640 + j 80 - 237 + j 53 = 2,64 + j 0,25   V

Como V está em paralelo a V 2 ,

V = V 2 = 2,65 ∠ 5,4 1 °   V

Passando para o domínio do tempo,

v t = 2,65 s e n 3 t + 5,4 1 °   V

Resposta

A tensão é igual a:

v t = 109,55 s e n 3 t + 5,48 °   V

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