Enunciado

  1. Determine I 1 e I 2 no circuito da Figura 13.111 .
  2. Inverta o ponto em um dos enrolamentos. Determine I 1 e I 2 novamente

Passo 1

Vamos lá para a letra ( a ) . Aplicando a lei das malhas na malha da esquerda, temos:

- 16 ∠ 60 ° + 10 + j 16 I 1 + V 1 = 0

10 + j 16 I 1 + V 1 = 16 ∠ 60 ° … ( 1 )

Similarmente, aplicando a lei das malhas na malha da direita:

- V 2 + 12 - j 8 I 2 + 10 ∠ 30 ° = 0

12 - j 8 I 2 - V 2 = - 10 ∠ 30 ° … 2

Nos terminais do transformador, temos:

V 2 V 1 = - 2   →     2 V 1 + V 2 = 0 … 3

I 2 I 1 = - 1 2   →     I 1 + 2 I 2 = 0 … ( 4 )

Aqui temos um sistema de quatro equações e quatro incógnitas:

10 + j 16 I 1 + V 1 = 16 ∠ 60 ° 12 - j 8 I 2 - V 2 = - 10 ∠ 30 ° 2 V 1 + V 2 = 0 I 1 + 2 I 2 = 0

Passo 2

Escrevendo de modo matricial:

10 + j 16 0 1 0 0 12 - j 8 0 - 1 0 0 2 1 1 2 0 0 ⋅ I 1 I 2 V 1 V 2 = 8 + j 13,86 - 8,66 - j 5 0 0   → A X = [ b ]

Uma maneira de encontrarmos os valores para as incógnitas é usar a regra de Cramer! Primeiro de tudo, precisamos achar o determinante da matriz:

det ⁡ A = 10 + j 16 0 1 0 0 12 - j 8 0 - 1 0 0 2 1 1 2 0 0

det ⁡ A = 52 + j 56

Agora, vamos calcular os determinantes substituindo o vetor [ b ] nas colunas de cada variável. Assim, para I 1 :

d e t ⁡ ( A I 1 ) = 8 + j 13,86 0 1 0 - 8,66 - j 5 12 - j 8 0 - 1 0 0 2 1 0 2 0 0

det ⁡ A I 1 = 49,32 + j 65,44

Para I 2 :

det ⁡ A I 2 = 10 + j 16 8 + j 13,86 1 0 0 - 8,66 - j 5 0 - 1 0 0 2 1 1 0 0 0

det ⁡ A I 2 = - 24,66 - j 32,72

Passo 3

Para encontrarmos os valores de cada uma das variáveis, precisamos dividir o determinante de cada uma pelo determinante da matriz A . Logo,

I 1 = det ⁡ A I 1 det ⁡ A = 49,32 + j 65,44 52 + j 56 = 1,07 + j 0,11   A

I 2 = det ⁡ A I 2 det ⁡ A = - 24,66 - j 32,72 52 + j 56 = - 0,53 - j 0,055   A

Passo 4

Agora, na letra (b), vamos inverter o ponto em um dos enrolamentos. Aqui, vamos trocar o ponto da bobina da direita. Trocar o ponto não afeta as equações das malhas, apenas as equações do transformador. Assim,

10 + j 16 0 1 0 0 12 - j 8 0 - 1 0 0 2 - 1 1 - 2 0 0 ⋅ I 1 I 2 V 1 V 2 = 8 + j 13,86 - 8,66 - j 5 0 0   → A X = [ b ]

Uma maneira de encontrarmos os valores para as incógnitas é usar a regra de Cramer! Primeiro de tudo, precisamos achar o determinante da matriz:

det ⁡ A = 10 + j 16 0 1 0 0 12 - j 8 0 - 1 0 0 2 - 1 1 - 2 0 0

det ⁡ A = - 52 - j 56

Agora, vamos calcular os determinantes substituindo o vetor [ b ] nas colunas de cada variável. Assim, para I 1 :

d e t ⁡ ( A I 1 ) = 8 + j 13,86 0 1 0 - 8,66 - j 5 12 - j 8 0 - 1 0 0 2 - 1 0 - 2 0 0

det ⁡ A I 1 = - 14,68 - j 45,44

Para I 2 :

det ⁡ A I 2 = 10 + j 16 8 + j 13,86 1 0 0 - 8,66 - j 5 0 - 1 0 0 2 - 1 1 0 0 0

det ⁡ A I 2 = - 7,34 - j 22,72

Passo 5

Para encontrarmos os valores de cada uma das variáveis, precisamos dividir o determinante de cada uma pelo determinante da matriz A . Logo,

I 1 = det ⁡ A I 1 det ⁡ A = - 14,68 - j 45,44 - 52 - j 56 = 0,56 + j 0 , 26   A

I 2 = det ⁡ A I 2 det ⁡ A = - 7,34 - j 22,72 - 52 - j 56 = 0,28 + j 0 , 13   A

Resposta

  1. I 1 = 1,07 + j 0,11   A e I 2 = - 0,53 - j 0,055   A
  2. I 1 = 0,56 + j 0,26   A e I 2 = 0,28 + j 0,13   A
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Elabore um problema para ajudar outros estudantes a entender melhor como funciona o transformador ideal.