Enunciado

Determine v ( t ) para t > 0 no circuito da Figura 8.87 .

Passo 1

Vamos lá, galerinha! Quando estamos em t = 0^- , ou seja, no momento antes de t = 0 , nós tmeos que as fontes de tensão são iguais a zero e as condições iniciais são v (0) = 0 e i_L (0) = 0 . Quando t > 0 , passamos a ter o seguinte circuito:

Logo, temos:

R = 20 | | 30 = (30 xx 20)/(50) = 12 Ω

Vamos agora encontrar as raízes características:

alpha = (R)/(2 L) = (12)/(2 ((1)/(4))) = 24

omega_0 = (1)/(sqrt(L C)) = (1)/(sqrt(((1)/(2)) ((1)/(4)))) = (1)/(sqrt(((1)/(8)))) = sqrt(8)

Como os valores de alpha e omega_0 são diferentes e alpha > omega_0 , temos a resposta natural com amortecimento supercrítico. As raízes são:

s_1,2 = - alpha +- sqrt(alpha^2 - omega_0^2) = - 47,83 ; - 0 , 167

Desse modo, podemos escrever a tensão da seguinte forma:

v (t) = V_s + [A e^(- 47,83 t) + B e^(- 0,167 t)] , o n d e V_S = [(60)/(30 + 20)] 20 - 30 = - 6 V

Passo 2

Quando olhamos para o instante t = 0 , temos:

v (0) = 0 = - 6 + A + B

A + B = 6

A corrente de um indutor pode ser escrita como:

i_C (t) = C (d v_C)/(d t)

No instante t = 0 ,

i_C (0) = C (d v (0))/(d t) = 0

Porém,

(d v (0))/(d t) = - 47,83 A - 0,167 B = 0

B = - 286,4 A

O que nos leva ao seguinte sistema de equações:

{[[A + B = 6],[B = - 286,4 A]])

Resolvendo esse sistema, temos:

A = - 0,02102 e B = 6,02

Logo,

v (t) = - 6 + [- 0,021 e^(- 4,431 t) + 6,02 e^(- 0,903 t)] V

Resposta

A tensão é igual a:

v (t) = - 6 + [- 0,021 e^(- 4,431 t) + 6,02 e^(- 0,903 t)] V

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